Карл Карлович Клаус родился в Дерпте (ныне Тарту) в семье художника 11 (22) января 1796 года. Не окончив никакой гимназии, он тем не менее сумел сдать экзамен на аптекаря в Петербургской медико-хирургический академии. После этого, в 1826 году, основал собственную аптеку в Казани.
В 1831-1835 гг. учился в Дерптском университете и одновременно работал там же в качестве ассистента при химической лаборатории; в 1837 г. защитил диссертацию на степень магистра и был назначен адъюнктом по кафедре химии в Казанском университете. С 1839 г. – профессор химии Казанского университета, с 1852 г. – профессор фармации Дерптского университета.
Научные работы относятся к неорганической химии; важнейшие из них посвящены изучению платиновых металлов. Клаус – один из основоположников химии платины и её спутников в России; свои исследования в этой области начал в 1841 г. По просьбе министерства финансов профессор Казанского университета Карл Карлович Клаус в 1841 году приступил к поискам способа переработки остатков платиновых руд, накопившихся на Петербургском Монетном дворе, с целью более полного извлечения платины. Клаус установил состав остатков платиновой руды и разработал методы разделения и получения в чистом виде платиновых металлов. Клаусу пришлось преодолеть исключительные экспериментальные трудности, учитывая уровень знаний тех времен. Кроме того, работа была опасна для здоровья, так как в процессе обработки руд образовывались крайне ядовитые вещества. Среди выделенных компонентов Клаус обнаружил неизвестный ранее металл. Он изучил свойства, как самого металла, так и его соединений, с особой тщательностью определил его атомный вес, отработал метод его выделения и очистки. В 1844 году Клаус опубликовал полученные результаты, назвав новый химический элемент рутением, в честь России.
Клаус получил рутений в чистом виде, изучил его химические свойства и определил атомный вес; указал на сходство между триадами рутений – родий – палладий и осмий – иридий – платина. Внёс вклад в создание аффинажной промышленности платиновых металлов.
В 1852 году Клаус переехал из Казани обратно в Дерпт, заняв в Дерптском университете должность профессора фармации.
Умер Карл Клаус от воспаления лёгких 144 года назад - 24 марта 1864 года.