С. А. Лебедев родился 2 ноября 1902 года в Нижнем Новгороде. В 1921 году Лебедев поступил учиться в МВТУ на электротехнический факультет, который закончил в 1928 году. Его дипломная работа, выполненная под руководством выдающегося учёного К.А. Круга, была посвящена проблеме устойчивости параллельной работы электростанций и имела большое научное и практическое значение. По окончании института С.А. Лебедев стал преподавателем МВТУ и одновременно сотрудником Всесоюзного электротехнического института им. В.И. Ленина (ВЭИ). В 1935 г. он получил звание профессора, в 1939 г., не будучи кандидатом наук, защитил докторскую диссертацию, связанную с разработанной им теорией искусственной устойчивости энергосистем. Он был одним из первых ученых, начавших моделирование энергосистем и обеспечивающих предотвращение выпадения генераторов из синхронизма. Затем он стал применять аналоговые вычислительные машины для математического моделирования энергосистем.
С 1943 г. по 1948 г. заведовал в МЭИ кафедрой релейной защиты и автоматизации энергосистем. С.А. Лебедев разработал основы учения о иерархических процессах в регулируемых системах. Первый курс лекций «Математические машины дискретного действия» С.А. Лебедев прочел в 1950-1952 гг.
Во время войны Лебедев занимался разработкой самонаводящихся торпед, разработал систему стабилизации танкового орудия при прицеливании. За эту работу Лебедев был награжден орденом Трудового Красного Знамени и медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941—1945 годов».
В 1945 году Лебедев избирается действительным членом АН УССР и становится директором Института Электротехники АН УССР. В конце 1947 года в этом институте стал создаваться макет цифровой электронной счетной машины (МЭСМ), пробный пуск которого состоялся 6 ноября 1950 года. Во время демонстрации машина вычисляла факториалы натуральных чисел и решала уравнение параболы.
В 1950 г. С.А. Лебедев в Москве начал разработку Большой электронной счетной машины (БЭСМ). В марте 1950 г. он был назначен заведующим лабораторией Института точной механики и вычислительной техники (ИТМ и ВТ). В апреле 1951 г. Государственная комиссия под председательством М.В. Келдыша приняла эскизные проекты машин БЭСМ и "Стрела". В I квартале 1953 г. БЭСМ была налажена, а в апреле 1953 г. принята Государственной комиссией в эксплуатацию. За создание БЭСМ Лебедев в 1954 году был награжден орденом Ленина, а в 1956 году ему было присвоено звание Героя Социалистического труда. После создания в феврале 1955 года Вычислительного центра АН СССР перед ИТМ и ВТ была поставлена задача подготовить БЭСМ к серийному выпуску. Машинами БЭСМ-2 были оснащены практически все крупные вычислительные центры страны. На БЭСМ-2 осуществлялись расчеты при запусках искусственных спутников Земли и первых космических кораблей с человеком на борту.
В 1956 г. доклад С.А. Лебедева о БЭСМ на международной конференции в Дармштадте произвел сенсацию — БЭСМ была на уровне лучших американских машин и самой быстродействующей в Европе. В 1953 г. его избрали действительным членом АН СССР. Параллельно с разработкой и созданием универсальных ЭВМ Лебедев уделял большое внимание работам, связанным с обороной страны. На базе этих машин была создана первая система ПРО страны. Специализированные ЭВМ, созданные под руководством С.А. Лебедева для системы противоракетной обороны, стали основой достижения стратегического паритета СССР и США в период "холодной войны".
В 1964 г. разработана БЭСМ-6, позволившая нашей стране выйти на мировой уровень в разработке ЭВМ второго поколения. Макет БЭСМ-6 был запущен в опытную эксплуатацию в 1965 г., а уже в середине 1967 г. первый образец машины был предъявлен на испытания. Государственная комиссия под председательством М.В. Келдыша, в то время президента Академии наук СССР, принимавшая БЭСМ-6, дала машине высокую оценку. На основе БЭСМ-6 были созданы центры коллективного пользования, системы управления в реальном масштабе времени, координационно-вычислительные системы телеобработки и т.д. Она использовалась для моделирования сложнейших физических процессов и процессов управления, а также в системах проектирования для разработки математического обеспечения новых ЭВМ. Принятые при ее создании принципиальные технические решения обеспечили ей завидное долголетие: БЭСМ-6 выпускалась промышленностью 17 лет!
С. А. Лебедев умер 3 июля 1974 года. Российская академия наук учредила премию имени С. А. Лебедева, которой один раз в два года награждаются российские ученые, внесшие большой вклад в развитие отечественной вычислительной техники.