В 1910 году А.Н. Колмогоров поступает в приготовительный класс частной гимназии Е.А. Репман в Москве, которую заканчивает в 1920 году. В 1920 поступает на математическое отделение университета (куда в то время принимали всех желающих без экзаменов) и одновременно – на металлургический факультет Менделеевского института. Но скоро интерес к математике перевесил все остальное. С 1922 параллельно с занятиями в университете он преподавал математику в средней школе. В том же году под руководством проф. В.В. Степанова начал заниматься теорией тригонометрических рядов, несколько позднее стал учеником Н.Н. Лузина. Ко времени окончания университета Колмогоровым было написано уже около 15 статей по теории функций действительного переменного.
Окончив в 1925 году университет, поступил в аспирантуру. Продолжая заниматься под руководством Н.Н. Лузина теорией функций действительного переменного, начал (совместно с А.Я. Хинчиным) работать в области теории вероятностей, ставшей потом его основной узкой специальностью.
В 1931 г. становится профессором МГУ. В 1933 году А.Н. Колмогоров был назначен директором Института математики и механики при МГУ. В этой должности он пребывает 6 лет. С 1954 по 1956 год и с 1978 год до своей смерти А.Н. Колмогоров был заведующим Отделением математики механико-математического факультета МГУ, а с 1954 по 1958 год - деканом этого факультета. В 1939 г. А.Н. Колмогоров избирается действительным членом Академии наук СССР и он становится (по 1942 г.) академиком-секретарем Отделения физико-математических наук.
В конце 30-х и начале 40-х годов А.Н. Колмогорова заинтересовали проблемы турбулентности и в 1946 году становится ведущим организованной им лабораторией атмосферной турбулентности Института теоретической геофизики АН СССР, где работал 3 года. Он возглавляет математический отдел и сам пишет для энциклопедий много статей. С 1936 г. Андрей Николаевич много сил отдает работе по созданию Большой и Малой Советских Энциклопедий. Он возглавляет математический отдел и является автором множества статей для энциклопедий.
В разные годы А.Н. Колмогоров был членом редколлегий журналов "Математический сборник", "Доклады АН СССР", "Успехи математических наук". С 1946 по 1954 г. и с 1983 г. по день кончины Андрей Николаевич был главным редактором "Успехов математических наук". В 1956 г. Колмогоров основалт журнал "Теория вероятностей и ее применения" и, с первого выпуска 1956 г. являлся главным редактором этого журнала, В 1963 году А.Н. Колмогоров выступает инициатором создания школы-интерната при МГУ и сам начинает там преподавание.
В 1960 г. он создает межфакультетскую лабораторию вероятностных и статистических методов (которой заведовал с 1966 г. по 1976 г.), одной из основных задач которой было широкое использование современных методов теории вероятностей и математической статистики в естественно-научных и гуманитарных исследованиях
Широта научных интересов Колмогорова беспрецендентна: их спектр простирается от метеорологии (Колмогоров был почетным членом Американского метеорологического общества) до теории стиха (вышел сборник его стиховедческих работ под редакцией Д.С. Лихачева).
Однако основной сферой деятельности Колмогорова была математика. Перечень лишь некоторых областей математики, где он оставил глубокий след, включает теорию функций (где студенческая работа 19-летнего автора, устанавливающая существование почти всюду расходящегося ряда Фурье, сразу сделала его знаменитым); теорию множеств; топологию (где он разделил авторство теории гомологий с П.С. Александровым); теорию информации (где он вместе с Шенноном построил основание этой науки); теорию алгоритмов. И наконец, теорию вероятностей, признанным во всем мире главой которой он был. Применив здесь методы теории функций действительного переменного, он построил (совместно с А.Я. Хинчиным) систему аксиоматического обоснования этой науки (1933). Работы Колмогорова по предельным теоремам, общей теории случайных процессов и теории марковских процессов продолжают играть важную роль в современной теории вероятностей, а его труд Основные понятия теории вероятностей (1933) считается классическим. Используя теорию вероятностей, Андрей Николаевич разработал метод, позволяющий строить прогнозы на основе наблюдения случайных событий. Этот метод применяется при решении широкого круга проблем, таких, например, как задача о посадке самолета на палубу авианосца в открытом море, сводящаяся к вычислению наиболее вероятного места нахождения авианосца в данный момент.
Колмогорову принадлежит первое место среди отечественных математиков по числу иностранных академий и научных обществ, избравших его своим членом, а также университетов, сделавших его своим почетным доктором. Среди них: Парижская АН, Лондонское королевское общество, Германская АН «Леопольдина», Лондонской математическое общество, Национальная академия США и т.д.
Колмогоров внес уникальный вклад в дело распространения математических знаний. Он автор школьных учебников и многочисленных научно-популярных статей, инициатор издания физико-математического журнала для юношества «Квант». Он является автором идеи создания знаменитого интерната при МГУ для одаренных в физике и математике иногородних школьников.
Умер Колмогоров в Москве 20 октября 1987.