- Развит новый геометрический метод построения пуассоновых структур спаривания на расслоениях общего типа.
- Получена полулокальная теорема расщепления пуассоновой структуры над вложенным (сингулярным) симплектическим листом. Введено понятие полулокальной трансверсальной пуассоновой структуры.
- Получены критерии полулокальной пуассоновой эквивалентности и описание соответствующих когомологических препятствий.
- Дано описание нового класса пуассоновых структур на расслоениях Ли-Пуассона, ассоциированных с транзитивными алгеброидами Ли.
- Введено понятие линеаризованной пуассоновой структуры над сингулярным симплектическим листом.
- Доказана теорема о нормальной форме и теорема линеаризации для пуассоно-вой структуры над симплектическим листом компактного и полупростого типа.
- Получены геометрические и аналитические критерии гамильтонизации проектируемой динамики на общих пуассоновых расслоениях. Дано описание возможности гамильтонизации в терминах пуассоновых структур спаривания.
- Построен гамильтонов формализм для линеаризованной гамильтоновой динамики над сингулярным симплектическим листом пуассонова многообразия.
[2] А.В. Борисов и И.С. Мамаев, Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамиль-тоновой механике, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 1999.
[3] Ю.М. Воробьев, Гамильтоновы структуры систем в вариациях и симплек-тические связности, Мат. Сборник 191 (4), 3-38 (2000).
[4] Ю.М. Воробьев, О линеаризованных пуассоновых структурах, Мат. Заметки 70 (4), 535-543 (2001).
[5] Ю.М. Воробьев, О линеаризации гамильтоновых систем на пуассоновых мно-гообразиях, Мат. Заметки 78(3), 323-330 (2005).
[6] Ю.М. Воробьев, Линеаризуемость пуассоновых структур на сингулярных симплектических листах, Мат. Заметки 80 (6), 825-837 (2006).
[7] Ю.М. Воробьев, Препятствия к эквивалентности пуассоновых структур вблизи симплектического листа полупростого и компактного типа, Функц. Анализ и Его Прил. 42 (2), 81-84 (2008).
[8] Ю.М. Воробьев и М.В. Карасев, О пуассоновых многообразиях и скобке Схо-утена, Функц. Анализ и Его Прил. 22 (1), 1-11 (1988).
[9] Я.И. Грановский, А.С. Жеданов и И.М. Луценко, Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. Проблема Кеплера, Теорет. Мат. Физ. 91 (3), 396-400 (1992).
[10] М.В. Карасев, Условия квантования Маслова в высших когомологиях и аналоги объектов теории Ли для канонических расслоений симплектических многооб¬разий, Москва, МИЭМ, 1981, ВИНИТИ № 1091-82, 1092-82; на англ.яз.: Selecta Math. Sov. 8 (3), 213-258 (1989).
[11] М.В. Карасев, Аналоги объектов теории групп Ли для нелинейных скобок Пуассона, Изв. Акад. Наук СССР, сер. матем. 50 (3), 508–538 (1986).
[12] М.В. Карасев и В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и кван¬тование, Наука, Москва, 1991.
[13] А.А. Кириллов, Элементы теории представлений, Наука, Москва, 1972.
[14] А.А. Кириллов, Локальные алгебры Ли, Успехи Мат. Наук 31, 55–75 (1976).
[15] В.В. Козлов, Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой динамике, Удмуртский государственный университет, Ижевск, 1995.
[16] И.М. Кричевер и А.В. Забродин, Спиновое обобщение модели Рейсенарса– Шнайдера, неабелева двумеризованная цепочка Тода и представления алгебры Склянина, Успехи Мат. Наук 50 (6), 3–56 (1995).
[17] О.В. Лычагина, Нормальные формы пуассоновых структур, Мат. Заметки 61 (2), 220–235 (1997).
[18] А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко, Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем, Функц. Анализ и Его Прил. 12 (2), 46–56 (1978).
[19] С.П. Новиков, Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса, Успехи Мат. Наук 37 (5), 3–49 (1982).
[20] М.А. Ольшанецкий, Эллиптическая гидродинамика и квадратичные алгебры векторных полей на торе, Теорет. Мат. Физ. 150 (3), 355–370 (2007).
[21] О.Е. Орел, Алгебро-геометрические скобки Пуассона в проблеме точного ин-тегрирования, Регул. и Хаотич. Дин. 2 (2), 90–97 (1997).
[22] А.Г. Сергеев, Об адиабатическом пределе в некоторых нелинейных уравнени¬ях калибровочной теории поля, Современная Математика. Фундаментальные направления 3, 33–42 (2003).
[23] Л.А. Тахтаджян и Л.Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, Наука, Москва, 1986.
[24] A. Bette, Twistor phase space dynamics and the Lorentz force equation, J. Math. Phys. 34 (10), 100–130 (1993).
[25] O. Brahic, Normal forms of Poisson structures near a symplectic leaf, ArXiv:math. SG/0403136, 2004.
[26] A. Cannas da Silva and A. Weinstein, Geometric models for noncommutative algebras. In: Berkeley Mathematics, Lectures, American Math. Soc., Providence, 1999, vol. 10.
[27] J. Conn, Normal forms for analytic Poisson structures, Annals of Math. 119, 576– 601 (1984).
[28] J. Conn, Normal forms for smooth Poisson structures, Ann. of Math. 121, 565–593 (1985).
[29] T.J. Courant, Dirac manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 319 (2), 631–661 (1990).
[30] M. Crainic and R.L. Fernandes, Integrability of Lie brackets, Ann. Math. 157 (2), 575–620 (2003).
[31] M. Crainic and R.L. Fernandes, Integrability of Poisson brackets, J. Differ. Geom. 66, 71–137 (2004).
[32] M. Crainic and R.L. Fernandes, Rigidity and flexibility in Poisson geometry, Travaux Mathematiques 16, 53–68 (2005).
[33] M. Crainic and R.L. Fernandes, A geometric approach to Conn’s linearization theorem, arXiv:0812.3060, 2008.
[34] M. Crainic and R.L. Fernandes, Stability of symplectic leaves, Inventions of Mathematics 180 (3), 481–533 (2010).
[35] G. D´avila Rasc´on, R. Flores Espinoza and Yu. Vorobiev, Euler equations on so(4) as a nearly integrable Hamiltonian system, Qualitative Theory of Dynamical Systems 7 (1), 129–146 (2008).
[36] G. D´avila Rasc´on and Yu. Vorobiev, A Hamiltonian approach for skew-product dynamical systems, Russian J. of Math. Phys. 15 (1), 35–44 (2008).
[37] B.L. Davis and A. Wade, Nonlinearizability of certain Poisson structures, Travaux Mathematiques, 16, 69–85 (2005).
[38] B.A. Dubrovin, M. Giordano, G. Marmo, and A. Simoni, Poisson Brackets on presymplectic manifolds, Intern. J. Moden Phys. 8, 3747–3771 (1993).
[39] J.-P. Dufour, Lin´earisation de certaines structures de Poisson, J. Diff. Geom. 32 (2), 415–428 (1990).
[40] J.-P. Dufour and N.T. Zung, Poisson structures and their normal forms, Birkh¨auser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2005, 321 p.
[41] R.L. Fernandes, Connections in Poisson geometry I: Holonomy and invariants, J. Differential Geom. 54 (2), 303–365 (2000).
[42] R.L. Fernandes, Lie Algebroids, Holonomy, and characteristic classes, Adv. in Math. 170, 119–179 (2002).
[43] R.L. Fernandes, The symplectization functor, Real Soc. Mat. Esp. 11, 67–82 (2008).
[44] V.L. Ginzburg, Equivariant Poisson cohomology and a spectral sequence asociated with a momentum map, Internat. J. Math. 10 (8), 977–1010 (1999).
[45] V.L. Ginzburg and A. Golubev, Holonomy on Poisson manifolds and the modular class, Israel. J. Math. 122, 221–242 (2001).
[46] M. Gotay, R. Lashof, J. Sniatycki, and A. Weinstein, Closed forms on symplectic fiber bundles, Comment. Math. Helv. 58, 617–621 (1983).
[47] V. Guillemin, E. Lerman, and S. Sternberg, Symplectic fibrations and multiplicity diagrams, Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1996.
[48] V.M. Itskov, M. Karasev, and Yu.M. Vorobjev, Infinitesimal Poisson geometry, Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 1998, Vol. 187, pp. 327–360.
[49] E.G. Kalnins, G.C. Williams, W. Miller, Jr., and G.S. Pogosyan, Superintegrability in three-dimensional Euclidean space, J. Math. Phys. 40, 690–708 (1999).
[50] E.G. Kalnins, W. Miller, and G.S. Pogosyan, Superintegrability on the 2-Dimensional Hyperboloid, J. Math Phys. 38, p. 5416 (1997).
[51] M. Karasev, Noncommutative algebras, nanostructures, and quantum dynamics generated by resonances. In: Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V. Karasev, ed.), AMS, Providence, RI, 2005, pp. 1–18.
[52] M. Karasev and E. Novikova, Polynomial commutation relations for a quantum particle in electric and magnetic fields. In: Quantum Algebras and Poisson Geometry in Mathematical Physics (M.V. Karasev, ed.), AMS, Providence, RI, 2005, pp. 19– 136.
[53] M.V. Karasev and Yu.M. Vorobjev, Deformations and cohomology of Poisson manifolds, Lecture Notes in Math., Vol. 1453, Springer–Verlag, Berlin, 1990, pp. 271–289.
[54] M.V. Karasev and Yu.M. Vorobjev, Adapted connections, Hamilton dynamics, geometric phases, and quantization over isotropic submanifolds, Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 1998, Vol. 187, pp. 203–326.
[55] A. Lichnerowicz, Les vari´et´es de Poisson et leurs alg`ebres de Lie associetes, J. Differential Geom. 12, 253–300 (1977).
[56] K.C.H. Mackenzie, Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry. In: LMS Lecture Note Ser., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, Vol. 124.
[57] J.R. Marsden, T.S. Ratiu, and G. Raugel, Symplectic connections and the linearization of Hamiltonian systems, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 117, 329– 380 (1991).
[58] J.R. Marsden and A. Weinstein, Reduction of symplectic manifolds with symmetry, Rep. Math. Phys. 5 (1), 121–130 (1974).
[59] K.R. Meyer, Symmetries and integrals in mechanics. In: Dynamical Systems (M.M. Peixoto, ed.), Academic Press, 1973, pp. 259–273.
[60] E. Miranda and N.T. Zung, A note on equivariant normal forms of Poisson structures, Math. Research Letters 13 (6), 1001–1012 (2006).
[61] P. Monnier and N.T. Zung, Levi decomposition for smooth Poisson structures, J. Diferential Geom. 68 (2), 347–395 (2004).
[62] E. Miranda, Some rigidity results for symplectic and Poisson group actions, Publ. de la Real Sociedad Matem´atica Espan˜ola 11, 176–182 (2007).
[63] P. Monnier, Poisson cohomology in dimension two, Israel J. Math. 129, 189–207 (2002).
[64] P. Monnier and R.L. Fernandes, Linearization of Poisson brackets, Lett. Math. Phys. 69 (1), 89–114 (2004).
[65] R. Montgomery, Canonical formalism of a classical particle in a Yang–Mills field and Wong’s equations. Let. Math. Phys. 8, 59–67 (1984).
[66] R. Montgomery, J.E. Marsden, and T. Ratiu, Gauged Lie–Poisson structures. In: Fluids and Plasmas: Geometry and Dynamics (J. Marsden, ed.), Cont. Math. 28, 101–114 (1984).
[67] J.-P. Ortega and T.S. Ratiu, Momentum maps and Hamiltonian reduction. In: Progress in Math., Birkh¨auser Boston Inc., Boston, 2004, Vol. 222.
[68] P. Stefan, Accessible sets,orbits, and foliations with singularities, Proc. London Math. Soc. (3) 29, 699–713 (1974).
[69] S. Sternberg, Minimal coupling and the symplectic mechanics of a classical particle in the presence of a Young–Mills field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 74, 5253–5254 (1977).
[70] H.J. Sussmann, Orbits of families of vector fields and integrability of distributions, Trans. Amer Math. Soc. 180, 171–188 (1973).
[71] I. Vaisman, Remarks on the Lichnerowicz–Poisson cohomology, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 40 (4), 951–963 (1990).
[72] I. Vaisman, Lectures on the geometry of Poisson manifolds, in Progress in Math., Birkh¨auser, Boston, 1994, Vol. 118, 205 p.
[73] I. Vaisman, Coupling Poisson and Jacobi structures on foliated manifolds, Intern. J. of Geometric Methods in Modern Physics 1 (5), 607–637 (2004).
[74] Yu. Vorobjev, Coupling tensors and Poisson geometry near a single symplectic leaf. In: Lie algebroids and related topics in differential geometry, Banach Center Publ., Polish Acad. Sci., Warsaw, 2001, Vol. 54, pp. 249–274.
[75] Yu. Vorobjev, On Poisson realizations of transitive Lie algebroids, J.of Nonlinear Math. Phys. 11, 43–48 (2004).
[76] Yu. Vorobjev, Poisson structures and linear Euler systems over symplectic manifolds, Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, pp. 137–239.
[77] Yu. Vorobjev, Poisson equivalence over symplectic leaf, Amer. Math. Soc. Transl. (2), AMS, Providence, RI, 2005, Vol. 216, pp. 241–277.
[78] Yu. Vorobiev, Averaging of Poisson structures, American Inst. of Phys. 1079, 235– 240 (2008).
[79] A. Wade, Poisson fiber bundles and coupling Dirac structures, Annals of Global Analysis and Geometry 33 (3), 207–217 (2008).
[80] A. Weinstein, The local structure of Poisson manifolds, J. Diff. Geom. 18, 523–557 (1983).
[81] A. Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 16, 101–104 (1987).
[82] A. Weinstein, Linearization Problem for Lie algebroids and Lie groupoids, Lett. Math. Phys. 52, 93–102 (2000).
[83] P. Xu, Poisson cohomology of regular Poisson manifolds, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 42 (4), 967–988 (1992).
[84] N.T. Zung, A geometric proof of Conn’s linearization theorem for analytic Poisson structures, Preprint math. (2002) SG/0207263.
[85] N.T. Zung, Levi decomposition of analytic Poisson structures and Lie algebroids, Topology 42 (6), 1403–1420 (2003).