Тетенов Андрей Викторович

1. Первая группа результатов относится к определению самоподобных структур на компактных топологических пространствах, описанию мор-физмов этих структур а также основных свойств топологических само­подобных структур.
2. Напомним, что классическое определение самоподобных фракталов формулируется в терминах сжимающих отображений для полных метри­ческих пространств, а основная теорема существования - теорема Хат­чинсона - справедлива для полных метрических пространств.
3. В диссертации, для общего случая хаусдорфовых топологических про­странств, введен новый класс действующих на этих пространствах по­лугрупп непрерывных инъективных отображений или полугрупп, удовлетворяющих условию (Р). Эти полугруппы являются аналогом полу­групп сжимающих отображений в полных метрических пространствах, но определяются условиями не требующими ни метризуемости, ни пол­ноты.
4. С помощью этого класса полугрупп определяется понятие самопо­добной структуры на компактном топологическом пространстве. Такое определение близко к определению Дж. Кигами [8], но, как показано в первой главе диссертации, имеет по сравнению с последним ряд преиму­ществ.
5. Для систем отображений из указанных полугрупп, удовлетворяющих условию (Р), доказан аналог теоремы Хатчинсона, справедливый для произвольных хаусдорфовых топологических пространств.
6. Изучено действие операторов Хатчинсона в гиперпространстве и до­казана теорема о полугруппах, порожденных операторами Хатчинсона, описывающая многообразия случайных фракталов, или фрактальные расслоения, как аттракторы таких полугрупп.
7. Вторая группа результатов связана с построением и исследованием конструкций циппера и мультициппера, идея которых восходит к рабо­там X. Коха [9] и П. Леви [12]. Получены условия представимости са­моподобного континуума в виде аттрактора циппера и мультициппера. Получены критерии жордановости аттрактора циппера и ограниченно­сти искривления аттрактора жорданова циппера. Доказана теорема о существовании линейной параметризации циппера и мультициппера и о гельдеровости такой параметризации. Доказана теорема об условиях ограниченности искривления аттрактора, из которой следует формула для хаусдорфовой размерности аттрактора.
8. Третья группа результатов относится к исследованию самоподобных жордановых континуумов. Доказана теорема о жесткости самоподобных жордановых дуг. Согласно этой теореме, всякая отличная от прямоли­нейного отрезка жорданова самоподобная дуга является компонентой ат­трактора самоподобного мультициппера. Из этой теоремы следует, что если такая дуга имеет ограниченное искривление, то она удовлетворяет сильному условию открытого множества, что дает алгоритм вычисления хаусдорфовой размерности самоподобной жордановой дуги. Доказа­на теорема о жесткости самоподобных одномерных структур, не удовле­творяющих слабому условию отделимости.
9. Четвертая группа результатов относится к исследованию выпуклых оболочек самоподобных множеств. Получено описание динамики дей­ствия обратного оператора Хатчинсона на границе выпуклой оболочки самоподобного множества. Доказана теорема о равенстве нулю хаусдо-фовой размерности множества крайних точек выпуклой оболочки само­подобных множеств на плоскости, удовлетворяющих условию открыто­го выпуклого множества. Доказана теорема конечности для выпуклых оболочек самоподобных множеств в банаховых пространствах, указыва­ющая условия, при которых такая оболочка является конечным полиэд­ром. Доказана теорема о том, что лебегова одномерная мера множества крайних точек выпуклой оболочки самоподобного множества на плоско­сти равна нулю.

[21] В. В. Асеев, А. В. Тетенов, А. С. Кравченко. О самоподобных жорда-новых кривых на плоскости// Сиб. матем. журнал. 2003, Т.44, N.3, С.481-492.

[22] А. В. Тетенов. Самоподобные жордановы дуги и граф-ориентиро¬ванные системы подобий.// Сиб. матем. журнал. 2006. Т. 47, N. 5. С.1147-1153.

[23] Б. Н. Апанасов, А. В. Тетенов. Деформации гиперболических струк¬тур и квазифуксовы группы, порожденные отражениями. // Докла¬ды РАН, 2006, Т.409, N.2, С. 583-585.

[24] А. В. Тетенов. On the rigidity of one-dimensional systems of contraction similitudes.// Сибирские электронные математические известия. 2006. Т.З, С.342-345.

[25] В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. О квазиконформном про¬должении с семейства плоских областей специального вида //До-клады РАН, 2003, Т.389, N.6, С.727-729

[26] В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. Обобщенные углы и оцен¬ки их обратного искажения при квазимероморфных отображениях. //Доклады РАН, 2004, т.395, N.3, стр.295-298.

[27] В. В. Асеев, А. В. Сычев, А. В. Тетенов. Мебиусово-инвариантные метрики и обобщенные углы в птолемеевых пространствах.// Сиб. матем. журнал. 2005, Т. 46, N. 2, С. 243-263.

[28] В. В. Асеев, А. В. Тетенов. О жордановых самоподобных дугах, до¬пускающих структурную параметризацию.// Сиб. матем. журнал. 2005. Т. 46, N. 4, С. 733-748.

[29] А. В. Тетенов. О жордановых самоподобных дугах на плоскости.// Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. т.7, N.3, С. 148-155.

[30] В. В. Асеев, А. В. Тетенов, А. П. Максимова. Обобщенная метрика Помпейю в проблеме изометрии гиперпространств.// Математиче¬ские заметки. 2005. Т. 78, вып. 2, С. 163-170.

[31] А. В. Тетенов, И. Б. Давыдкин. О выпуклых оболочках самоподоб¬ных множеств. // Вестник Новосибирского государственного уни¬верситета Серия «Математика, механика, информатика». 2005. Т. V. Вып. 2. С. 21-27

[32] И. Б. Давыдкин, О. Пуревдорж, А. В. Тетенов. Достаточные усло¬вия выпуклости самоподобных множеств //Сб. науч. раб. каф. мат. анализа ГАГУ. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2009. С. 26-31.

[33] О. Purevdorj, A. V. Tetenov. A self-similar continuum which is not the attractor of any zipper.// Siberian Electronic Mathematical Reports. 2009. v.6. P. 510-513.

[34] A. V. Tetenov. On the length of the set of extreme points for self-similar sets in R2./1 Siberian Electronic Mathematical Reports. 2009. v.6. P. 542-545.