Научная тема: «СОВЕРШЕННЫЕ КОДЫ И ПАРНЫЕ КВАЗИГРУППЫ: КОНСТРУКЦИИ И КЛАССИФИКАЦИЯ»
Специальность: 01.01.09
Год: 2011
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Доказаны признаки разделимости �-арных квазигрупп: для поряд­ка 4 в терминах связности прообраза двух значений и для произвольного порядка в терминах максимальной арности неразделимого ретракта.
  2. Получена характеризация �-арных квазигрупп порядка 4: любая �-арная квазигруппа порядка 4 является полулинейной или разделимой. По­казано, что все �-арные квазигруппы порядков 5 и 7, бинарные ретракты которых изотопны циклической группе, являются разделимыми при � ≥ 4.
  3. Введено понятие свитчинговой разделимости графов, которая эк­вивалентна разделимости �-арных квазигрупп, построенных по этим графам определенным образом. Показано, что если при удалении любой вершины или любых двух вершин графа получается разделимый подграф, то сам граф яв­ляется разделимым. С другой стороны, построена бесконечная серия неразде­лимых графов, у которых удаление любой вершины приводит к разделимому подграфу. Это дает пример неразделимых �-арных квазигрупп, все (�-1)-арные ретракты которых разделимы.
  4. Доказано, что любой, в том числе нелинейный, двоичный код с рас­стоянием 3 всегда можно вложить в 1-совершенный код некоторой большей длины.
  5. Предложен метод построения 1-совершенных кодов, дающий самый многочисленный из известных в настоящий момент класс 1-совершенных дво­ичных кодов.
  6. Построен бесконечный класс диаметрально совершенных (как след­ствие, оптимальных) троичных равновесных кодов с расстоянием 5.
  7. Представлено новое обобщение отображения Грея Φ : Z?lk -> Z п, связанное с известным обобщенным отображением Грея ср следующим обра­зом: если взять два дуальных линейных ^й-кода и построить из них двоичные коды, используя обобщения ср и Φ отображения Грея, то весовые нумерато­ры полученных двоичных кодов будут связаны тождеством Мак-Вильямс. Описаны классы кодов Адамара и расширенных 1-совершенных кодов, по­лученных из линейных Z2k -кодов при помощи старого и нового обобщенного отображения Грея.
Список опубликованных работ
[I]Кротов Д. С. Нижние оценки числа �-квазигрупп порядка 4 и числа совершенных двоичных кодов // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. — 2000. — Т. 7, № 2. — С. 47–53. http://mi.mathnet.ru/da261.

[II]Кротов Д. С. �4-линейные совершенные коды // Дискрет. ана¬лиз и исслед. операций. Сер. 1.— 2000. — Т. 7, № 4. — С. 78–90. http://mi.mathnet.ru/da281.

[III]Krotov D. S. �2�-Dual binary codes // IEEE Trans. Inf. Theory. — 2007. — Vol. 53, no. 4. — Pp. 1532–1537. — DOI: 10.1109/TIT.2007.892787.

[IV]Avgustinovich S. V., Krotov D. S. Embedding in a perfect code // J. Comb. Des. — 2009. — Vol. 17, no. 5. — Pp. 419–423. — DOI: 10.1002/jcd.20207.

[V]Krotov D. S., Avgustinovich S. V. On the number of 1-perfect binary codes: A lower bound // IEEE Trans. Inf. Theory. — 2008. — Vol. 54, no. 4. — Pp. 1760–1765. — DOI: 10.1109/TIT.2008.917692.

[VI]Krotov D. S. On diameter perfect constant-weight ternary codes // Discrete Math. — 2008. — Vol. 308, no. 14. — Pp. 3104–3114. — DOI: 10.1016/j.disc.2007.08.037.

[VIII]Krotov D. S. On irreducible �-ary quasigroups with reducible retracts // Eur. J. Comb.— 2008.— Vol. 29, no. 2.— Pp. 507–513. — DOI: 10.1016/j.ejc.2007.01.005.

[VII]Krotov D. S. On decomposability of 4-ary distance 2 MDS codes, double- codes, and �-quasigroups of order 4 // Discrete Math. — 2008. — Vol. 308, no. 15. — Pp. 3322–3334. — DOI: 10.1016/j.disc.2007.06.038.

[IX]Krotov D. S. On reducibility of �-ary quasigroups // Discrete Math. — 2008. — Vol. 308, no. 22. — Pp. 5289–5297. — DOI: 10.1016/j.disc.2007.08.099.

[X]Krotov D. S., Potapov V. N. �-Ary quasigroups of order 4 // SIAM J. Discrete Math. — 2009. — Vol. 23, no. 2. — Pp. 561–570. — DOI: 10.1137/070697331.

[XI]Krotov D. S., Potapov V. N. On connection between reducibility of an �-ary quasigroup and that of its retracts // Discrete Math. — 2011. — Vol. 311, no. 1. — Pp. 58–66. — DOI: 10.1016/j.disc.2010.09.023

[XII]Кротов Д. С. О связи свитчинговой разделимости графа и его подгра¬ фов // Дискрет. анализ и исслед. операций. — 2010. — Т. 17, № 2. — С. 46–56. http://mi.mathnet.ru/da605.

Труды конференций и тезисы

[XIII]Krotov D. S. �4-linear Hadamard and extended perfect codes // WCC2001, International Workshop on Coding and Cryptography. — Elsevier B.V., 2001. — Vol. 6 of Electron. Notes Discrete Math. — Pp. 107–112. — DOI: 10.1016/S1571-0653(04)00161-1.

[XIV]Krotov D. S. On decomposition of (�, 4�-1, 2)4 MDS codes and double-codes // Proc. Eighth Int. Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory ACCT-VIII. — Tsarskoe Selo, Russia: 2002. — September. — Pp. 168–171.

[XV]Krotov D. S. On decomposability of distance 2 MDS codes // Proc. Ninth Int. Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory ACCT’2004. — Kranevo, Bulgaria: 2004. — June. — Pp. 247–253.

[XVI]Krotov D. S. �2�-duality, �2�-linear Hadamard codes, and co-�2�-linear extended perfect codes // Proc. Fourth Int. Workshop on Optimal Codes and Related Topics. — Pamporovo, Bulgaria: 2005. — June. — Pp. 205–213.

[XVII]Krotov D. S. On irreducible �-quasigroups with reducible (� - 1)-ary retracts // Proc. Tenth Int. Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory ACCT-10. — Zvenigorod, Russia: 2006. — September. — Pp. 157–160.

[XVIII]Krotov D., Avgustinovich S. On the number of 1-perfect binary codes: a lower bound // Proc. Tenth Int. Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory ACCT-10. — Zvenigorod, Russia: 2006. — September. — Pp. 161–164.

[XIX]Avgustinovich S. V., Krotov D. S. Embedding in a perfect code // Coding Theory Days in St.Petersburg. — St.Petersburg: 2008. — September. — Pp. 37–39.

[XX]Krotov D. S., Avgustinovich S. V. On the number of perfect binary codes. A lower bound // Proc. the conference “Discrete Analysis and Operations Research” DAOR’2004. — Novosibirsk, Russia: 2004. — June– July. — P. 95. — http://www.math.nsc.ru/conference/DAOR’04/daor04.pdf.

[XXI]Кротов Д. С., Потапов В. Н. Описание �-арных квазигрупп по¬ рядка 4 // «Математика в современном мире». Российская конферен¬ ция, посвященная 50-летию Института математики им. С. Л. Соболе¬ ва СО РАН. Тезисы докладов. — Новосибирск: 2007. — Сент. — С. 36. — http://math.nsc.ru/conference/conf50/Abstracts.pdf.

[XXII]Кротов Д. С., Потапов В. Н. О приводимости �-арных квазигрупп и свитчинговой разделимости графов // IX Международный семинар «Дискретная математика и ее приложения», посвященный 75-летию со дня рождения академика О. Б. Лупанова. Тезисы докладов. — Москва: 2007. — Июнь. — С. 432–434.