- Предложен метод аппроксимации поверхностей парой локально полярных многогранных поверхностей, позволяющий строить кусочно-аффинную аппроксимацию сферического отображения, и, соответственно, кусочно-постоянную аппроксимацию кривизны, в окрестности невырожденных регулярных точек поверхностей ПРВ.
- Для двумерной кусочно-регулярной поверхности ПРВ М показано, что для площади сферического изображения каждого из двойственных аппроксимантов Pj. и Р£ справедливо разложение Лебега на абсолютно непрерывную компоненту (интеграл от кривизны "регулярной части" многогранной поверхности), на сингулярную компоненту (площадь сферического изображения "острых ребер" многогранников), и на дискретную компоненту (площадь сферического изображения "конических вершин" многогранников). Разложения Лебега для Pk и Pk⋆ покомпонентно сходятся к разложению Лебега для M . 3.Предложен поливыпуклый вариационный принцип для построения многомерных квазиизометрических отображений как деформаций гипотетического упругого материала, исключающего сингулярные деформации. Для экстремальной задачи доказана теорема существования минимизирующего отображения, его обратимость и квазиизо-метричность. В двумерном случае, на основе теории многообразий ограниченной кривизны, доказана теорема существования, не требующая априорных предположений о непустоте множества допустимых отображений.
- Предложен метод квазиизометрической регуляризации уравнений теории упругости с конечными деформациями, сохраняющий поливыпуклость и постоянные Ламе. Показано, что уравнения теории термоупругости с поливыпуклой внутренней энергией допускают каноническую симметризованную запись С.К. Годунова в лагранжевых и эйлеровых координатах, удовлетворяющую условиям гиперболичности по Фридрихсу.
- Предложена дискретная аппроксимация поливыпуклого функционала как некоторая мера искажения расчетной сетки. Для класса многомерных кусочно-полиномиальных отображений доказан локальный принцип максимума для поливыпуклых мер искажения, и предложены геометрические квадратуры, которые гарантируют, что непрерывный функционал мажорируется дискретным, так что теоремы существования, обратимости и квазиизометричности напрямую применимы в дискретной постановке, в том числе при измельчении сеток.
- Предложен и реализован итерационный метод минимизации дискретных функционалов, для которого строго доказана сходимость; предложена практическая схема сжатия допустимого множества для квазиминимизации постоянной квазиизометрии; предложен вариант функционала, приближенно ортогонализирующий отображения вблизи внешних и внутренних границ; предложен и реализован новый эффективный метод построения допустимых отображений, или, иными словами, метод "распутывания" сеток; на основе предложенного вариационного метода разработан практический алгоритм распластывания поверхностей со свободными границами с квазиоптимальными константами искажения.
[2] Александров А.Д. О поверхностях, представимых разностью выпук-лых функций // Изв. АН Казах. ССР, серия матем. и механ. 1949. Вып. 3. С.3-20.
[3] Александров А.Д. Выпуклые многогранники. Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.
[4] Александров А.Д., Залгаллер В.А. Двумерные многообразия огра-ниченной кривизны (основы внутренней геометрии поверхностей). Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1962. Т.63.
[5] Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифферен-циальную геометрию “в целом”. М.: Наука, 1973.
[6] Бураго Ю.Д. Билипшицево эквивалентные поверхности Алексан¬дрова, II // Алгебра и Анализ. 2004. Т.16. Вып.6. С.28-52.
[7] Вороной Г.Ф. Исследования о примитивных параллелоэдрах // Собр. соч. Т.2. Киев: Изд-во АН УССР, 1952. С.239-368.
[8] Годунов С.К. Интересный класс квазилинейных систем // ДАН СССР. 1961. Т.139. №3. C.520-523.
[9] Годунов С.К., Гордиенко В.М., Чумаков Г.А. Квазиизометрическая параметризация криволинейного четырехугольника и метрика по¬стоянной кривизны // Труды Института математики СО РАН. 1994. Т.26. С.3-19.
[10] Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998.
[11] Годунов С.К., Пешков И.М. Симметрические гиперболические урав¬нения нелинейной теории упругости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т.48. №6. C.1034-1055.
[12] Делоне Б.Н. О пустоте сферы // Изв. АН СССР. 1934. №4. С.793-800.
[13] Иваненко С.А., Чарахчьян А.А. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т.28. №4. С.503-514.
[14] Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со мно-гими независимыми переменными // Матем. сборник. 1970. Т.81. №2. С.228-255.
[15] Роменский Е.И. Законы сохранения и симметричная запись урав-нений теории упругости // Тр. семинара им. С.Л. Соболева. 1984. Т.1. С.132-143.
[16] Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992.
[17] Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. М.: На¬ука, 1967.
[18] Ball J.M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity // Arch. Rat. Mech. Analys. 1977. V.63. P.337-403.
[19] Ball J.M. Global invertibility of Sobolev functions and the interpenetration of matter // Proc. Roy. Soc. of Edinburgh. 1981. V.88A. P.315-328.
[20] Ball J.M. Singularities and computation of minimizers for variational problems. In: Foundations of Computational Mathematics, R. DeVore, A. Iserles and E. Suli, eds., London Math. Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, 2001. V.284. P.1-20.
[21] Bonk M., Lang U. Bi-Lipschitz parameterization of surfaces // Mathematische Annalen. 2003. V.327. N.1. P. 135-169.
[22] Cohen-Steiner D., J.-M. Morvan J.-M. Restricted delaunay triangulations and normal cycle. Proc. 19th Annual ACM Symp. on Comput. Geometry, 2003. P.237-246.
[23] Edelsbrunner H. Geometry and Topology for Mesh Generation. Cambridge monographs on Applied and Computational Mathematics. 2001. Vol. 6. New York: Cambridge Univ. Press.
[24] Evans L.C., Gariepy R.F. Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, 1992.
[25] Hartman P. On functions representable as a difference of convex functions // Pacific J. Math. 1959. V. 9. №3. P.707-713.
[26] Liseikin V.D. Grid generation methods. 2nd Ed. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2010.
[27] Qin T. Symmetrizing nonlinear elastodynamic system // Journal of Elasticity. 1998. V.50. P.245-252.
[28] Reshetnyak Yu.G. Two-Dimensional Manifolds of Bounded Curvature. In Geometry IV (Non-regular Riemannian Geometry) Reshetnyak Yu.(ed). 1991. Berlin: Springer Verlag. P.3-165. Работы автора по теме диссертации.
[29] Гаранжа В.А., Капорин И.Е. Регуляризация барьерного вариацион¬ного метода построения расчетных сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. №9. С.1489-1503.
[30] Гаранжа В.А. Барьерный метод построения квазиизометрических сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. №11. С.1685-1705.
[31] Гаранжа В.А. Управление метрическими свойствами простран-ственных отображений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т.43. №6. С.818-829.
[32] Гаранжа В.А., Замарашкин Н.Л. Пространственные квазиизомет-ричные отображения как решения задачи минимизации поливыпук¬лого функционала // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т.43. №3. С.854-865.
[33] Гаранжа В.А., Капорин И.Е. О сходимости градиентного метода ми¬нимизации функционалов теории упругости с конечными деформа¬циями и барьерных сеточных функционалов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т.45. №8. С.1450-1465.
[34] Гаранжа В.А. Теоремы существования и обратимости для вариаци¬онного построения квазиизометричных отображений со свободны¬ми границами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т.45. №3. С.484-494.
[35] Гаранжа В.А. Поливыпуклые потенциалы, обратимые деформации и термодинамически согласованная запись уравнений нелинейной теории упругости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т.50. №9. C.1-29.
[36] Garanzha V.A. Barrier variational generation of quasi-isometric grids // Num. Linear Algebra Appl. 2001. V.8. №5. P.329–353.
[37] Branets L.V., Garanzha V.A. Distortion measure for trilinear mapping. Application to 3-D grid generation // Num. Linear Algebra Appl. 2002. V.9. №6-7. P.511-526.
[38] Garanzha V.A. Maximum norm optimization of quasi-isometric mappings // Num. Linear Algebra Appl. 2002. V.9. №6-7. P.493–510.
[39] Garanzha V.A. Variational principles in grid generation and geometric modeling: theoretical justifications and open problems // Num. Linear Algebra Appl. 2004. V.11. №5-6. P. 535-563.
[40] Garanzha V.A., Kaporin I.E., Konshin I.N. Truncated Newton type solver with application to grid untangling problem // Num. Linear Algebra Appl. 2004. V.11. №5-6. P.525-533.
[41] Garanzha V.A. Quasi-isometric surface parameterization // Appl. Num. Math. 2005. V.55. №3. P.295-311.
[42] Garanzha V.A. Approximation of the curvature of Alexandrov surfaces using dual polyhedra // Rus. J. Numer. Analys. Modeling. 2009. V.24. №5. P.409-423.
[43] Garanzha V.A. Discrete extrinsic curvatures and approximation of surfaces by polar polyhedra // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т.50. №1. С.71-98.