- Получена связь между слабо выпуклыми и проксимально гладкими множествами в произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве. Получен критерий на норму пространства, при котором эти два класса совпадают.
- В произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве доказана равномерная непрерывность метрической проекции на проксимально гладкое множество с константой R для всех точек, достаточно близких ко множеству. Равномерная непрерывность имеет место по точке и по множеству.
- В произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве дана характеризация проксимально гладких множеств через существование и единственность метрической проекции на это множество, а также непрерывную зависимость проекции от проецируемой точки. Обобщен опорный принцип для проксимально гладких множеств из равномерно выпуклого и равномерно гладкого банахова пространства.
- Доказана теорема об отделимости сферой сильно выпуклого множества от слабо выпуклого множества.
- Получена оценка на модуль выпуклости равномерно выпуклого множества. На основе модуля выпуклости множества получена оценка между строго выпуклыми компактами в демьяновской метрике через расстояние в метрике Хаусдорфа.
- Введено определение слабо выпуклого множества с модулем невыпуклости и показано, что в банаховых пространствах с модулем выпуклости второго порядка полученный класс множеств с модулем невыпуклости второго порядка входит в класс проксимально гладких множеств. Получены новые теоремы о равномерной непрерывности пересечения равномерно непрерывных многозначных отображений, одно со слабо выпуклыми и другое с сильно выпуклыми значениями.
- Получены новые равномерно непрерывные и непрерывные по Липшицу параметризации многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями.
- Введен класс P-множеств, и получены новые теоремы об открытости некоторых отображений.
- Получены новые достаточные условия положительного решения задачи расщепления для селекции.
- Получены новые оценки погрешности аппроксимации строго выпуклых компактов из Шп на сетке единичных векторов заданной мелкости.
- В гильбертовом пространстве решен ряд задач характеризации: (i) доказано, что множество с модулем выпуклости второго порядка есть пересечение замкнутых шаров заданного радиуса и получена неулучша-емая оценка на этот радиус; (И) охарактеризованы множества в гильбертовом пространстве, которые имеют единственную точку, наиболее удаленную и липшицево зависимую от заданной точки пространства; (Hi) доказан аналог теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки; (iv) получено положительное решение задачи Данцера о существовании гладкого тела постоянной ширины 1, которое содержит данное гладкое множество диаметра
В данной работе М. В. Балашову принадлежит 9 печатных листов, Е. С. Половинкину принадлежит 17 печатных листов.
[2] Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно вы-пуклого анализа. - М.: Физматлит, 2007. - 440 с. 2-е изд. исправленное и дополненное.
В данной работе М. В. Балашову принадлежит 10 печатных листов, Е. С. Половинкину принадлежит 17,5 печатных листов.
[3] Балашов М. В., Половинкин Е. С. М-сильно выпуклые множества и их порождающие подмножества// Матем. сб. - 2000. - Т. 191, вып. 1. С. 27-64.
В данной работе М. В. Балашову принадлежат определение 7.1, тео-ремы 2.5, 2.6, 5.3, 5.4, 6.1, 7.1, 8.1, 8.3. Постановка задач и остальные результаты принадлежат Е. С. Половинкину.
[4] Половинкин Е. С, Иванов Г. Е., Балашов М. В., Константинов Р. В., Хорее А. В. Об одном алгоритме численного решения линейных диф-ференциальных игр// Матем. сб. - 2001. - Т. 192, вып. 10. - С. 95-122. В данной работе М. В. Балашову принадлежит приближенный ал¬горитм нахождения выпуклой оболочки положительно однородной функции и оценка его погрешности в теореме 4. Все остальные ре¬зультаты принадлежат другим авторам.
[5] Балашов М. В. О геометрической разности многозначных отображе¬ний// Матем. заметки. - 2001. - Т. 70, вып. 2. - С. 163-169.
[6] Балашов М. В. Об аналоге теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки в гильбертовом пространстве// Матем. заметки. -Т. 71, вып. 1. - С. 37-42.
[7] Балашов М. В. О Р-свойстве выпуклых компактов// Матем. заметки.
-2002. - Т. 71, вып. 3. - С. 323-333.
[8] Балашов М. В., Иванов Г. Е. Об удаленных точках множеств// Матем. заметки. - 2006. - Т. 80, вып. 2. - С. 163-170.
В данной работе М. В. Балашову принадлежат теоремы 1, 2, 4, 5, 6, 7. Г. Е. Иванову принадлежит постановка задач и остальные результаты.
[9] Балашов М. В., Иванов Г. Е. Свойства метрической проекции на мно-жество, слабо выпуклое по Виалю, и параметризация многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями// Матем. заметки. -2006. - Т. 80, вып. 4. - С. 483-489.
В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и доказательство теоремы 2 (совместно с Г. Е. Ивановым) и теоремы 3. Остальные результаты принадлежат Г. Е. Иванову.
[10] Иванов Г. Е., Балашов М. В. Липшицевы параметризации многознач¬ных отображений со слабо выпуклыми значениями// Изв. РАН. Сер. матем. - 2007. - Т. 71, вып. 6. - С. 47-68.
В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и теоремы 4, 7, 8. Г. Е. Иванову принадлежат теоремы 1, 2, 5.
[11] Балашов М. В., Богданов И. И. О некоторых свойствах P-множеств и свойстве зажатости в выпуклых компактах// Матем. заметки. - 2008.
-Т. 84, вып. 4. - С. 496-505.
В данной работе М. В. Балашову принадлежит постановка задачи и теоремы 1, 2, примеры 1, 2, 3. И. И. Богданову принадлежит теорема 3 и примеры 4, 5.
[12] Балашов М. В., Иванов Г. Е. Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах// Изв. РАН. Сер. матем. - 2009.
-Т. 73, вып. 3. - С. 23-66.
В работе [12] М. В. Балашову принадлежат теоремы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.10, 2.15. Г. Е. Иванову принадлежат теоремы, 2.8, 2.9, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14. В теореме 2.6 Балашовым доказана импликация (1) —>■ (2), импликация (2) —>■ (1) доказана Балашовым и Ивановым.
[13] Balashov М. V., Repovs D. On the splitting problem for selections// J. Math. Anal. Appl. - 2009. - V. 355, N 1. - P. 277-287. В данной работе М. В. Балашову принадлежат достаточные условия разрешимости задачи расщепления для P-множеств, а также теорема о существовании приближенного решения задачи расщепления в гиль¬бертовом пространстве, Д. Реповшу принадлежит постановка задачи расщепления.
[14] Balashov M. V., Repovs D. Uniform convexity and the splitting problem for selections// J. Math. Anal. Appl. - 2009. - V. 360, N 1. - P. 307-316. В данной работе М. В. Балашову принадлежат свойства модуля выпук-лости и достаточные условия разрешимости задачи расщепления для равномерно выпуклых множеств в равномерно выпуклых банаховых пространствах, Д. Реповшу принадлежит постановка задачи расщеп-ления.
[15] Balashov M. V., Repovs D. Weakly convex sets and the modulus of non-convexity// J. Math. Anal. Appl. - 2010. - V. 371, N 1. - P. 113-127. В данной работе М. В. Балашову принадлежит определение модуля не-выпуклости и связанные с ним свойства, а также теоремы о непрерыв-ности пересечения многозначных отображений, Д. Реповшу принадле-жит идея использовать результаты для решения задачи расщепления.
[16] Балашов М. В. Об одном вопросе о телах постоянной ширины// Вест-ник РУДН. Серия Математика. - 2003. - Т. 1, вып. 10. - С. 3-7.
[17] Балашов М. В.О непрерывности пересечения многозначных отображений с сильно выпуклыми значениями// Эл. журнал "Исследовано в России". 2002. С. 534-539 [PDF] (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/049.pdf).
[18] Половинкин Е. С, Балашов М. В. О вложении пространства выпуклых компактов в линейное топологическое пространство и его следствиях// Тр. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные опе-раторы. Проблемы математического образования". - М.: Физматлит. -2003. - С. 311-326.
В данной работе М. В. Балашову принадлежат результаты о непрерыв-ности многозначных отображений, Е. С. Половинкину принадлежат результаты о телах постоянной ширины.
[19] Балашов М. В., Иванов Г. Е. Слабая выпуклость и проксимальная гладкость в банаховых пространствах// Математический форум. Т. 2. Исследования по выпуклому анализу / отв. редактор В. М. Тихомиров.
—Владикавказ: ЮМИ ВИЦ. - 2009. - С. 7-40 (Итоги науки. ЮФО).
Работа [19] есть часть работы [12].
[20] Балашов М. В., Иванов Г. Е. Сильная выпуклость множеств уров¬ня сильно выпуклой функции// Некоторые проблемы фундаменталь¬ной и прикладной математики: Междувед. сб./ Моск. физ.-тех. инст.
-М.,1996. - С. 46-52.
В данной работе М. В. Балашову принадлежат доказательства, Г. Е. Иванову постановка задачи.
[21] Балашов М. В. О множествах с положительным модулем выпуклос¬ти// Современные проблемы фундаментальной и прикладной матема¬тики: Сборник научных трудов/ Моск. физ.-тех. инст. - М.,2007. - С. 6-22.
[22] Балашов М. В. Слабо выпуклые множества и модуль невыпуклости// Актуальные проблемы фундаментальной и прикладной математики: Сборник научных трудов/ Моск. физ.-тех. инст. - М., 2009. - С. 8-28.