Мамонтов Александр Евгеньевич

1. Впервые²⁸ доказаны теоремы существования слабых решений «в це­лом» по времени и входным данным для уравнений многомерного дви­жения вязкой сжимаемой неньютоновской жидкости (Главы 4-6). Это сделано для следующих трех подмоделей (т. е. трех видов ОУ): модель Бюргерса (Глава 4: Теорема 4.3.6); модель с давлением (Глава 5: Теорема 5.2.5); c)   модель Бингама (Глава 6: Теорема 6.3.2).
2. Показано, что все слабые решения того же класса удовлетворяют зако­нам сохранения массы и энергии (Главы 4-6: Теоремы 4.3.5, 4.3.7, 5.2.5, 6.3.2; Лемма 5.2.3; Предложение 5.2.6; п. 4.4.1). Эти соотношения явля­ются нетривиальными для слабых решений (хотя естественны и нуж­ны с позиций механики) и требуют доказательства. Ранее аналогичный факт доказывался (для ВСЖ) только для ньютоновских моделей²⁹.
3. Впервые получены точные условия на неограниченную divu, гаран­тирующие однозначную глобальную разрешимость задачи Коши для уравнения неразрывности (1) и сопряженного уравнения переноса, и сформулированы точные классы для решений (Глава 2). Ранее эта про­блема рассматривалась либо³⁰ в случае divu, ограниченной по х, либо³¹ в виде достаточных условий. В работе найдено точное неулучшаемое условие и построены соответствующие контрпримеры. Те же условия являются критерием для утверждения типа леммы Гронуолла (Осгуда) в многомерном случае. Результат для уравнения переноса распростра­нен на случай слабой нелинейности.
4. Разработана техника дальнейших априорных оценок для уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, позволяющая повышать глад­кость построенных решений (Глава 7). Ранее «продвинутая»³² систе­ма априорных оценок для неодномерных уравнений вязкой жидкости предлагалась только для двумерных уравнений ньютоновской ВСЖ³³, или же для несжимаемой жидкости³⁴ (также в основном для п = 2).
5. Разработаны: метод экстраполяции операторов из L_p в пространства Орлича, представления пространств Орлича как экстраполяционных на основе интегральных преобразований и представлений N-функций, позволяющие конструктивно формулировать поведение функций и опе­раторов в пространствах Орлича (Глава 3). Ранее аналогичные резуль­таты касались либо внутренних свойств шкалы³⁵, либо³⁶ частных слу­чаев, или давались в терминах, затрудняющих конструктивную фор­мулировку экстраполяционных свойств во всей промежуточной шкале.
6. В качестве еще одной иллюстрации экстраполяционных методов (Гла­вы 3) получено простое условие на неограниченный вихрь (в пространствах Орлича), при котором имеет место единственность решения для уравнений Эйлера (Приложение A). Ранее аналогичный результат был получен³⁷ в виде труднопроверяемого семейства оценок в L_p, в то время как в диссертации получено одно условие в классе Орлича.

2.Кажихов А.В., Мамонтов А.Е. Об одном классе выпуклых функций и точных классах корректности задачи Коши для уравнения переноса в пространствах Орлича. Сиб. мат. журн., 1998, Т. 39, N 4. С. 831-850.

3.Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений Бюргерса сжимаемой вязкой жидкости. Мат. Сб., 1999, Т. 190, N 8. С. 61-80.

4.Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье—Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. I. Сиб. мат. журнал, Т. 40, 1999, N 2. С. 408-420.

5.Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье—Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. II. Сиб. мат. журнал, Т. 40, 1999, N 3. С. 635-649.

6.Мамонтов А.Е. Оценки глобальной регулярности для многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости. Мат. Заметки, 2000. Т. 68. вып. 3. С. 360-376.

7.Королев О.И., Мамонтов А.Е. О классах корректности задачи Коши для слабонелинейного уравнения переноса. Вестник НГУ, серия «ма-тематика, механика, информатика», 2003, Т. III, вып. 2. С. 46-61.

8.Мамонтов А.Е. Интегральные представления и преобразования N-функций. I. Сиб. мат. журнал, Т. 47, 2006, N 1. С. 123-145.

9.Мамонтов А.Е. Интегральные представления и преобразования N-функций. II. Сиб. мат. журнал, Т. 47, 2006, N 4. С. 811-830.

10.Мамонтов А.Е. Шкалы пространств Ьр и их связь с пространствами Орлича. Вестник НГУ, серия «математика, механика, информатика», 2006, Т. VI, вып. 2. С. 33-56.

11.Мамонтов А.Е. Существование глобальных решений многомерных уравнений сжимаемой жидкости Бингама. Мат. заметки, 2007, Т. 82, вып. 4. С. 560-577.

12.Мамонтов А.Е., Уваровская М.И. Нестационарные течения идеаль¬ной несжимаемой жидкости: условия существования и единственности решений. Прикл. мех. техн. физ., 2008, Т. 49, N 4(290). С. 130-145.

IV.2. Прочие публикации

13.Kazhikhov A.V., Mamontov А.Е. Transport Equations and Orlicz spaces, in the book: "Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications. Se-venth International Conference in Zurich, February 1998. V. II" (Inter-national Series of Numerical Mathematics, Vol. 130), 1999, Birkhauser, Basel-Boston-Berlin. P. 535-544. Editors: Michael Fey and Rolf Jeltsch.

14.Mamontov A.E. Global Regularity Estimates for Multidimensional Equa-tions of Compressible Non-Newtonian Fluids. Annali dell’Universita di Fer-rara (Nuova Serie), Sezione VII, Scienze Matematiche, Vol. XLVI, 2000, P. 139-160.

15.Mamontov A.E. Extrapolation from Lp into Orlicz spaces via integral transforms of Young functions. J. of Anal. and Appl, 2006, V. 4, N 2, P. 77-118.

16.Мамонтов А.Е. Глобальная разрешимость многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, транспортное уравнение и про-странства Орлича. Труды С.-Петерб. мат. об-ва, 2008, Т. 14. С. 145-181.