- Найдены необходимые и достаточные условия на непрерывную функцию ^:1^Кс тем, чтобы уравнение гамильтонова типа на плоскости vt = <p(vx) имело нетривиальные (т. е. неаффинные) С1-гладкие решения. Доказано, в частности, что функция ip (a priori предполагаемая лишь непрерывной) должна быть дважды дифференцируема почти всюду.
- Полностью изучен случай произвольной вещественной С^-гладкой функции v двух переменных, у которой внутренность множества значений градиента пуста. В этом случае установлено, что линии уровня градиентного отображения являются прямолинейными отрезками. Отсюда выведено, что множество значений градиента функции v локально представляет собой кривую, которая имеет в каждой точке касательные в некотором слабом смысле, и направление этих слабых касательных меняется как функция ограниченной вариации. В то же время удалось построить вещественную С^-гладкую функцию двух переменных, у которой множество значений градиента является дугой, не имеющей касательной (в обычном смысле) ни в одной точке.
- Установлен аналог теоремы Сарда для С^-гладких функций двух переменных.
- Результаты 1-3 перенесены на случай С^-гладких отображений v : Ω С МTM -> Мт, множество значений градиента которых одномерно.
- Найдены необходимые и достаточные условия однозначной определенности областей в Rn метрикой хаусдорфовой границы, индуцированной внутренней метрикой области, при этом на области не налагается никаких априорных требований регулярности.
[2] Александров В. А. Об областях, однозначно определяемых относи¬тельной метрикой своей границы, в: Тр. Ин-та математики/АН СССР. Сиб. отд-ние. 1987. Т. 7: Исследования по геометрии и ма¬тематическому анализу. С. 5-19.
[3] Александров В. А. Однозначная определенность областей с нежор-дановыми границами // Сиб. мат. журн. 1989. T. 30, № 1. С. 3-12.
[4] Александров В. А. Об изометричности многогранных областей, гра¬ницы которых локально изометричны в относительных метриках // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, № 2. С. 3-9.
[5] Боровикова М. К. Об изометричности многоугольных областей, гра¬ницы которых локально изометричны в относительных метриках // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33. № 4. С. 30-41.
[6] Волков Ю. А. Оценка деформации выпуклой поверхности в зави¬симости от изменения ее внутренней метрики, в: Укр. геометр. сб. Харьков: Изд-во ХГУ, 1968. Вып. 5/6. С. 44-69.
[7] Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производ¬ными. М.: «Мир», 1990.
[8] Дубовицкий А. Я. О строении множеств уровня дифференцируемых отображений n-мерного куба в /г-мерный куб // Изв. Акад. Наук СССР. Сер. Мат. 1957. Т. 21. С. 371-408.
[9] Егоров А. А. Об устойчивости классов аффинных отображений // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. 1081-1095.
[10] Егоров А.А., Коробков М.В. Устойчивость классов липшицевых отображений, теорема Дарбу и квазивыпуклые множества // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 5. С. 1046-1059.
[11] Копылов А. П. О граничных значениях отображений, близких к изометрическим // Сиб. мат. журн. 1984. T. 25, № 3. С. 120-131.
[12] Копылов А. П. Об однозначной определенности областей в евклидо¬вых пространствах // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. T. 22. С. 139-167.
[13] Копылов А. П. Устойчивость в C-норме классов отображений // Новосибирск: «Наука», 1990.
[14] Копылов А. П. Устойчивость в Cl-норме классов решений систем ли¬нейных уравнений с частными производными эллиптического типа // Сиб. мат. журн. 1998. T. 39, № 6. С. 1304-1321.
[15] Коробков М. В. Об одном обобщении теоремы Дарбу на многомер¬ный случай // Сибирский мат. журн. 2000. Т. 41, № 1. С. 118-133.
[16] Кружков СН. Квазилинейные уравнения первого порядка со мно¬гими независимыми переменными// Матем. сборник. 1970. Т. 81, № 2. С. 228-255.
[17] Кузьминых А. В. Об изометричности областей, границы которых изометричны в относительных метриках // Сиб. мат. журн. 1985. T. 26, № 3. С. 91-99.
[18] Мишачев Н. М., Элиашберг Я. М. Введение в h-принцип. М.: МЦ-НМО, 2004.