Бардин Борис Сабирович

1. Разработана теория асимптотических решений гамильтоновых систем в случаях резонансов первого и второго порядков. Получены достаточные условия существования новых классов решений, асимптотически стремя­щихся к положению равновесия гамильтоновой системы, изучена их ана­литическая структура и предложен метод построения в виде сходящихся рядов по отрицательным степеням независимой переменной.
2. Предложен метод построения уравнения разветвления периодических решений, рождающихся из положения равновесия системы Ляпунова. По­казано, что точке ветвления соответствует ровно два периодических реше­ния, представимых в виде сходящихся рядов по дробным степеням малого параметра.
3. Разработана теория нелинейных колебаний периодически зависящей от времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы в случае ре­зонанса первого порядка и в одном особом случае резонанса в вынужден­ных колебаниях. Дано приближенное аналитическое описание движения системы в окрестности положения равновесия. Установлено существова­ние 2π-периодических решений, близких к положению равновесия, и ис­следована их устойчивость. Доказана ограниченность движения в некото­рой конечной окрестности неустойчивого положения равновесия.
4. Разработана теория нелинейных колебаний автономной гамильтоно- вой системы с двумя степенями свободы при резонансе второго и четверто­ го порядков. Дано приближенное аналитическое представление условно-периодических движений системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Получено полное решение нелинейной задачи об орбиталь­ной устойчивости периодических решений, рождающихся из положения равновесия. Показано, что в некоторой конечной окрестности положения равновесия движение носит ограниченный характер, а неустойчивость пе­риодических движений может быть лишь локальной.
5. На основании новых методов и подходов, разработанных в диссерта­ ции:- построены новые семейства движений динамически симметричного спутника, асимптотически приближающиеся к его регулярным прецесси­ям на круговой орбите при резонансах первого и второго порядков;- исследованы нелинейные колебания динамически симметричного спут­ника вблизи его цилиндрической прецессии на круговой орбите при резо­нансе четвертого порядка;- изучен качественный характер движения в окрестности треугольной точки либрации при критическом соотношении масс;- исследованы плоские нелинейные колебания спутника при значениях параметров, отвечающих точке бифуркации его периодических движений, установлена локальная неустойчивость последних;- изучена бифуркация периодических движений маятника с вибрирую­щей по горизонтали точкой подвеса.
6. Решен ряд задач об устойчивости периодических движений спутни­ ков: а) Выполнено строгое исследование орбитальной устойчивости плоских периодических движений динамически симметричного спутника на кру­ говой орбите. б) Проведен полный нелинейный анализ орбитальной устойчивости плос­ких периодических движений спутника-пластинки, центр масс которого движется по круговой орбите. в) Получено строгое решение задачи об устойчивости плоского перио­дического движения спутника на эллиптической орбите, при котором он совершает один оборот в абсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите.
7. Исследована устойчивость движения в ряде задач классической ме­ханики: а)         Получено полное и строгое решение задачи об устойчивости положе­ний относительного равновесия маятника с вибрирующей по вертикали точкой подвеса. б)        В случае Бобылева-Стеклова проведен нелинейный анализ орбиталь­ ной устойчивости плоских периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой. в) В случае Горячева-Чаплыгина получено строгое решение задачи об устойчивости колебаний и вращений тяжелого твердого тела с одной непо­ движной точкой относительно его экваториальной оси инерции.

2.Бардин Б.С. О движениях спутника, асимптотических к его регуляр¬ным прецессиям // Космич. исслед. 1991. Т. 29. Вып. 6. С. 822–827.

3.Бардин Б.С. Об асимптотических движениях гамильтоновых систем при резонансе второго порядка // Межвуз. сб. научн. тр. “Проблемы механики управляемого движения. Оптимизация процессов управле¬ния”. Изд-во Пермского ун-та, 1992. P. 19–26.

4.Маркеев А.П., Бардин Б.С. Плоские вращательные движения спутни¬ка на эллиптической орбите // Космич. исслед. 1994. Т. 32. Вып. 6. С. 43–49.

5.Бардин Б.С., Маркеев А.П. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 6. С. 922–929.

6.Bardin B. S. Non-linear oscillations of Hamiltonian system with one degree of freedom on the boundary of parametric resonance doman // Z. angew. Math. Mech.,. 1997. Vol. 77. no. 2. P. 23–24.

7.Бардин Б.С. О ветвлении периодических решений системы, близкой к системе Ляпунова // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 4. С. 538–548.

8.Bardin B. S. Periodic solutions of nearly Lyapunov system in the external resonance case // Rep. Math. Phys. 2000. Vol. 46. no. 1-2. P. 27–34.

9.Bardin B. S., Maciejewski A. J. Non-linear oscillations of a Hamiltonian system with one and half degrees of freedom // Regul. Chaotic Dyn. 2000. Vol. 5. no. 3. P. 345–360.

10.Bardin B. S. On nonlinear motions of a Hamiltonian system in the case of external resonance // Rep. Math. Phys. 2002. Vol. 49. no. 2-3. P. 133–142.

11.Bardin B. S. On motions near the Lagrange equilibrium point L4 in the case of Routh’s critical mass ratio // Celest. Mech. 2002. Vol. 82. no. 2. P. 163–177.

12.Markeev A.P., Bardin B.S. On the stability of planar oscillations and rotations of a satellite in a circular orbit // Celest. Mech. 2003. Vol. 85. no. 1. P. 51–66.

13.Бардин Б.С., Пунтус А.А., Чекин А.М., Чекина Е.А. Исследование устойчивости плоских движений динамически симметричного спутни¬ка на границах областей параметрического резонанса. // В сб. исследо¬вательских, проектно–конструкторских и технологических работ мо¬лодых студентов "Создание перспективной авиационной техники". M.: Изд–во МАИ, 2004. С. 50–55.

14.Bardin B. S. On orbital stability of planar motions of symmetric satellites in cases of first and second order resonances // Proceedings of the 6th Conference on Celestial Mechanics. Monogr. Real Acad. Ci. Exact. F´ıs.-Qu´ım. Nat. Zaragoza, 25. 2004. P. 59–70.

15.Бардин Б.С. Периодические решения систем, близких к системам Ля¬пунова. М:: Изд-во МАИ, 2005. 60 с.

16.Бардин Б.С. К задаче об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 2. С. 14 – 21.

17.Бардин Б.С. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в слу-чае резонанса четвертого порядка // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3. № 1. С. 57–74.

18.Бардин Б.С. Об орбитальной устойчивости периодических движений гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае резонанса 3:1 // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 6. С. 976–988.

19.Bardin B. S. On nonlinear motions of Hamiltonian system in case of fourth order resonance // Regul. Chaotic Dyn. 2007. Vol. 12. no. 1. P. 86–100.

20.Бардин Б.С., Чекин А.М. Об орбитальной устойчивости плоских вра¬щений спутника–пластинки на круговой орбите // Вестник МАИ. 2007. Т. 14. № 2. С. 23– 36.

21.Бардин Б.С., Чекин А.М. Об орбитальной устойчивости плоских ко¬лебаний спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2008. Т. 46. Вып. 3. С. 278–288.