- Показано, что аксиоматический метод принципиально не может зародиться в рамках практически ориентированной системы знаний. Следствием этого вывода является утверждение, что дедуктивный способ рассуждений может возникнуть только в теоретической системе знаний. Это и есть первая из формальных предпосылок возникновения аксиоматического метода.
- Новизна полученного результата заключается в том, что впервые теоретический характер евклидовых «Начал» осознан не как сопутствующий историческому исследованию факт, а как формальная предпосылка возникновения дедуктивного способа доказательств на основе аксиом и постулатов.
- Аксиоматический способ рассуждений не мог появиться в качестве побочного продукта деятельности с целью, внешней по отношению к полученному результату (например, исходя из потребностей максимально компактного изложения материала в учебных целях). Преобразование науки в дедуктивную форму могло произойти только в результате последовательных целенаправленных действий по выявлению и формулированию тех простейших определений и утверждений, к которым сводятся в конечном счете все её теоремы и предложения. Краткость изложения и доступность понимания при этом не играют первенствующей роли.
- Новизна полученного результата заключается в том, что впервые на абстрактно-логическом уровне показана роль релятивистского мышления софистов как провоцирующей причины появления аксиоматического метода в качестве защитной меры.
- Утверждается, что аксиоматический метод мог возникнуть только в теоретической геометрии, где имеется раздел о свойствах углов. Где бы и когда бы ни возник дедуктивный метод рассуждений, он, как и на земле Эллады, мог появиться только в форме постулата о параллельных прямых. Именно этот постулат, с одной стороны, обосновывает в рамках планиметрии возможность построения прямоугольника на заданном основании, а с другой стороны, вместе с ним в геометрии появляются бесконечные углы, «корректность» представления о которых может быть обеспечена лишь заменой реальных предметных действий построениями, осуществляемыми в человеческом воображении.
- Новизна полученного результата заключается в том, что благодаря ему выявлена действительно фундаментальная роль геометрии в возникновении и развитии аксиоматического метода, место и значение которой с объективной точки зрения нисколько не уменьшилось даже после объявления Бурбаки данного метода основой для построения всего математического знания.
- Показано, что превращение прикладных геометрических знаний египтян в теоретическую науку произошло не в сознании греческих математиков, а в более широком целом - жизнедеятельности всей эллинской цивилизации. Если для египтян выполняемые на плане пирамиды построения были подчинены процессу её сооружения, то для греков, не возводивших подобных конструкций, свойства данных построений поневоле оказывались «знанием ради знания». Созерцательное рассмотрение достижений египетского землемерного искусства - единственно возможный способ усвоения мудрости древнейшего из народов молодой эллинской цивилизацией.
- Новизна полученного результата заключается в демонстрации ограниченности классической теории абстракции Аристотеля с точки зрения социокультурного подхода. Абстракции геометрических фигур возникают не как следствие определенной онтологии - способности души воспринимать форму тела без его материи. В действительности процесс формирования геометрических абстракций в эллинской геометрии имел гораздо более сложную природу. Сначала геометрия должна была превратиться из измерительного искусства в теоретическую науку, изучающую свойства фигур не ради какого-либо практического дела, а исключительно ради них самих. И лишь затем уже на этой основе сознательные усилия ученых, вызванные потребностями общественной жизни, могли привести к возникновению соответствующих представлений о невещественных геометрических объектах.
- Превращение эллинской теоретической геометрии в дедуктивную науку было неизбежным в конкретных исторических условиях кризиса античного полиса. Вместе с тем, само наличие геометрического искусства как «знания ради знания» в Древней Греции не связано с особенностями её политического устройства и объясняется сравнительно низким техническим уровнем эллинской цивилизации, несопоставимым с техническим уровнем Египта времен Древнего Царства, достигнутым за две с лишним тысячи лет до времени возникновения и расцвета греческой науки.
- Новизна полученного результата заключается в пересмотре имеющегося взгляда на современную математику как на единственно возможную форму математического знания, отвечающего его «природе» и не зависящего от конкретно-исторических условий его возникновения. В действительности, именно недостаток «знания» математики о себе самой и условиях своего возникновения делает её особенно уязвимой для критики со стороны других наук (например, философии науки или физики).
- Продемонстрирована неэффективность аксиоматического метода в качестве инструмента решения важнейшей педагогической задачи - овладения искусством самостоятельно мыслить в процессе обучения математике. Эта задача была сознательно поставлена Ж.Дьедонне при пересмотре содержания курса геометрии во Франции в 60-х гг. прошлого столетия и переводе его с языка евклидовой традиции на язык линейной алгебры.
- Новизна полученного результата заключается в демонстрации преимуществ классического курса геометрии с точки зрения получения среднего образования перед «модернистским» его изложением на основе идей линейной алгебры. Особая ценность классического курса с точки зрения развития мышления учащихся заключается в том, что геометрия благодаря наглядности как никакой другой школьный предмет способствует развитию умения находить опосредствующие звенья между областью наличного знания и тем, что предстоит найти.
- Показана невозможность создания искусственного интеллекта до тех пор, пока не будут найдены технические возможности моделирования способности естественного интеллекта производить операцию целенаправленного отбора имеющихся сведений в соответствии с предъявляемой для решения задачей.
- Новизна полученного результата заключается в отыскании одной из многих способностей человеческого мышления, отсутствие подходов к технической реализации которой сводит на нет в настоящее время все попытки создания эффективно работающих интеллектуальных систем. Эта способность играет важнейшую роль в процессе создания нового знания, но не развивается при обучении математике на основе идей аксиоматического метода. Слабости аксиоматического метода в качестве способа получения нового знания объясняют его неэффективность и как метода решения задач «искусственного интеллекта».
- Показана роль дедуктивной математики в формировании в античной философии представления об идеальных объектах и таких её понятий, как «смысл», «символ», «метафора».
- Новизна полученного результата заключается в демонстрации социокультурной детерминированности наряду с дедуктивной математикой также и ряда важных понятий западной философии, представляющихся, на первый взгляд, неотъемлемыми инструментами философского мышления
2. Конференция «“Науки о природе” и “науки о духе”: предмет и метод на рубеже XXI века» // Философские науки. – 1995. – № 2–4. – С. 228–237.
3. Гипотетико-дедуктивный метод и гуманитарное знание // Вестник РГГУ. Вып. 3. Науки о природе и науки о духе: предмет и метод на рубеже XXI века / Отв. ред. Ю.Н. Афанасьев. – М.: Российск. гос. гуманит. ун-т. – 1996. – № 3. – С. 121–126.
4. Математика в историческом измерении // Вопросы истории естествозна-ния и техники. – 2003. – № 3. – С. 95–110.
Монография:
5. «Греческое чудо» и теоретическая математика. – Москва: Издательский центр РГГУ, 2007. – 192 с. (9,7 печ. л.)
В сборниках и коллективных монографиях:
6. К вопросу о возникновении дедуктивной математики // Современная ма-тематика: методологические и мировоззренческие проблемы. Ч. 2. – Москва–Обнинск, 1987. – С. 225–228.
7. Об особенностях античного метода исчерпывания // Историко-математи-чес-кие исследования. – 1990. – Вып. XXXII–XXXIII. – С. 11–20.
8. Искусственный интеллект и формальные дедуктивные теории // Матема-тические методы решения инженерных задач. – М.: Ракетные войска страте¬гического назначения, 1993. – С. 32–37.
9. Математика как феномен культуры // Гуманитарные науки и новые ин-формационные технологии: Сб. научн. ых трудов / Отв. ред. Ю.Н. Афанасьев. – М.: Российск. гос. гуманит. ун-т, 1994. – Вып. 2. – С. 143–148.
10. Дедуктивный метод и обоснование математики // Обоснование и куль-тура: Сб. научных статей. – Уфа: Башкирск. ун-т, 1995. – С. 134–141.
11. Геометрия и аксиоматический метод // Историко-математические иссле-дования. Серия 2.– 1996. – Вып. 1 (36). – № 2. – С. 195–204.
12. Четвертый постулат Евклида и потенциальная бесконечность // Бесконеч¬ность в математике: философские и исторические аспекты / Под ред. А.Г. Барабашева. – М.: Янус–К, 1997. – С. 35–39.
13. К критике канторовской диагональной процедуры // Традиционная логика и канторовская диагональная процедура. – М.: Янус–К, 1997. – С. 22–29 (в соавторстве с Л.О. Шашкиным).
14. Математика и образование // Философско-педагогический анализ про-блемы гуманизации образовательного процесса. Сб. научн.ых статей. Вып.1. / Под ред. Г.В. Лобастова. – М., 1998. – С. 97–101.
15. Дедуктивное мышление и древнегреческий полис // Стили в маматематике: социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. – СПб.: РХГИ, 1999. – С.288–304.
16. Диагональная процедура Г. Кантора и теория множеств (историко-науч¬ный и логический контекст) // Историко-математические исследования. Вто¬рая серия. – 1999. – Вып. 4 (39). – С. 303–324 (в соавторстве с Е.А. Зайцевым и Л.О. Шашкиным).
17. Канторовская диагональная процедура и непротиворечивость теории мно¬жеств // Историко-математические исследования. Вторая серия. – 1999. – Вып. 5 (40). – С. 290–300 (в соавторстве с Л.О. Шашкиным).
18. Математическое образование студентов гуманитарных специальностей // Труды Международной конференции «Проблемы реализации многоуровне¬вой системы образования. Наука в вузах» М., 1999. – С. 376–378.
19. Египетская геометрия и греческая наука // Историко-математические иссле¬дования. Вторая серия.– 2001. – Вып. 6 (41). – С. 277–284.
20. Как числа стали абстрактными? // Историко-математические исследова-ния. Вторая серия. – 2002. – Вып. 7 (42). – С. 190–201.
21. Метаматематика и опыт // Математика и опыт / Под ред. А.Г. Барабашева. – М.: Изд-во МГУ, 2003. – С. 354–365.
56.22. Математика как теоретическая наука и как учебная дисциплина // Труды школы-семинара по проблемам фундирования профессиональной подго¬товки учителя математики. Посвящается 100-летию со дня рождения акаде¬мика А.Н. Колмогорова. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2003. – С. 32–48.
56.23. Математическое мышление и искусство управления // Ученые труды фа¬культета государственного управления МГУ. – 2003. – Вып. 2. – С. 142–158 (в соавторстве с А.А. Григоряном и Е.В. Шикиным).
56.24. О роли строгости в преподавании математики и математическом творче¬стве: взгляды А.Н. Колмогорова и В.И. Арнольда // Труды вторых Колмого¬ровских чтений. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004. – С. 25–33.
25. О методологических проблемах преподавания элементов комбинаторики и теории вероятностей студентам гуманитарных специальностей // Труды третьих Колмогоровских чтений. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005. – С. 87–96.
26. Природа математического мышления // Современные философские про¬блемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук: Учебник для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук / Под ред. В.В. Миронова. – М.: Гардарики, 2006. – С. 13–25.
27. Философские проблемы возникновения и исторической эволюции мате-матики в культурном контексте // Современные философские проблемы ес-тественных, технических и социально-гуманитарных наук: Учебник для ас-пирантов и соискателей ученой степени кандидата наук / Под ред. В.В. Ми-ронова. – М.: Гардарики, 2006. – С. 25–34.
Тезисы выступлений на международных и всероссийских конферен-циях:
28. С.А. Яновская о применении аксиоматического метода в геометрии // Един¬ство онтологии, теории познания и логики // Тезисы докладов научной конференции, посвященной 400-летию Р. Декарта и 100-летию С.А. Янов-ской. Уфа, 31 мая – 1 июня 1996 г. – Уфа: Издание Башкирского универси¬тета, 1996. С. 114–117.
29.Генезис объективного идеализма и геометрия // Ильенковские чтения: Тез. выступл. 18–-19 февр. 1997 г. / М-во общ. и проф. образования РФ. Моск. гос. ун-т печати; Под науч. ред. Г.В. Лобастова. – М.: Акаде¬мия печати, 1997. – С. 37–38.
30. Диалог как форма выражения содержания философии Платона // Когни¬тивное моделирование переговорного процесса: Тезисы докладов Всероссий¬ской конференции: Тезисы докладов Всероссийской конференции (Москва, 17–-18 декабря 1997 г.). – М., 1998. – С. 78–80.
31. Абстрактно-общее и математика // Ильенковские чтения: Тезисы докла¬дов и сообщений межд. научн. конф. Зеленоград, 18–-20 февр. 1999 / Под ред. Г.В. Лобастова. – Москва-Зеленоград, 1999. – С. 105–108.
32. Математические объекты в математике и за ее пределами // XXI век: буду¬щее России в философском измерении: Материалы II Российского философ¬ского конгресса (7–11 июня 1999 г.). В 4 ч. Т. 1. Онтология, гносеология и методология науки, логика. Ч. 1. – Екатеринбург, 1999. – С. 207–208.
33. Естественнонаучное и гуманитарное образование в XXI веке // Стратегия опережающего развития для России XXI века: Тезисы докладов и сообщений межд. научн. конф. Москва, 18–-19 июня 1999 г. Т.3. Ч.1. – М., 1999. – С. 53–54.
34.Математическое и гуманитарное образование: общее и особенное // Все-российская конференция «Математика и общество. Математическое образо¬вание на рубеже веков», Дубна, сентябрь, 2000. – М.: МЦНМО, 2000. – С. 343–344.
35. Два понятия идеального: М.А. Лифшиц и Э.В. Ильенков // Ильенковские чтения. Материалы 2-й (24–25 марта 2000) и 3-й (16–17 февраля 2001) Меж¬дународных научных конференций. Ч. 1. – М.: Российский государственный институт интеллектуальной собственности, 2002. – С. 16–20.
36. Творчество в современной философии // Ильенковские чтения. Мате-риалы 2-й (24–25 марта 2000) и 3-й (16–17 февраля 2001) Международных научных конференций. Ч. 1. – М.: Российский государственный институт ин¬теллектуальной собственности, 2002. – С.57–62.
37. Формальная и диалектическая логика в зеркале истории науки // Ильенков и Гегель. Материалы IX Международной научной конференции (26–27 ап¬реля 2007 г.). – Ростов-на-Дону, 2007. – С. 173–174.
В учебных пособиях:
38.Естественный и искусственный интеллект: Проблемная лекция. – М.: РГГУ, 1995. – 42 с. Е.А. .
39.Математика в мировой культуре. – М.: РГГУ, 2006. – 228 с. (совместно с Е.А. Зайцевым).