Заботин Игорь Ярославич

1. Предложен подход к построению методов условной минимиза­ ции псевдовыпуклых функций, позволяющий использовать аппрокси­ мацию допустимого множества или его подмножеств для нахождения направлений перехода в итерационных точках. Разработаны прин­ ципы аппроксимации, которые дают возможность построения этих направлений путем решения конечного числа задач линейного или квадратичного программирования, несмотря на общий вид ограниче­ ний исходной задачи. Сами принципы реализованы в виде итерацион­ ных процедур погружений - отсечений, которые позволяют строить аппроксимирующие многогранные множества, удовлетворяющие за­ данным требованиям, за конечное число шагов, и при этом обладают простыми практическими критериями остановки.
2. Для решения задачи псевдовыпуклого программирования с глад­кой целевой функцией разработаны два метода, в которых при по­строении подходящих направлений решаются задачи минимизации линейных функций на некоторых вспомогательных множествах, со­держащихся в допустимой области или содержащих ее. Для той же задачи предложен метод, в котором направления спуска строятся с помощью проектирования градиента целевой функции на специально построенные множества, в частности, охватывающие область огра­ничений. На идеях метода Ньютона и разработанного проекционного метода построен метод второго порядка, в котором для нахождения подходящих направлений также можно использовать подмножества допустимого множества или содержащие их множества более прос­того вида. На случай задания ограничений нелинейными функциями для всех четырех методов с применением разработанных процедур ап­проксимации построены реализации, в которых подходящие направ­ления находятся путем решения конечного числа задач линейного или квадратичного программирования. На основе построенных алгорит­мов предложены удобные с практической точки зрения модификации известных методов выпуклого программирования.
3. Разработан подход к построению методов псевдовыпуклого программирования, позволяющий уменьшать размерности задач отыс­кания направлений по отношению к размерностям исходной задачи за счет параметрического представления этих направлений. Пред­ложены разные способы выбора значений параметров на основе ре­шения некоторых экстремальных задач. Показано, что при решении этих вспомогательных задач применимы процедуры аппроксимации их допустимых множеств многогранными множествами. С исполь­зованием указанного подхода построен метод типа условного гради­ента с направлениями в виде линейной комбинации градиентов це­левой функции и активных ограничений. При этом коэффициенты комбинации (параметры) могут подбираться несколькими способа­ми путем решения задач линейного программирования. Используя тот же способ представления параметризованных направлений, раз­работаны два проекционных метода с алгоритмами, позволяющими строить эти направления путем минимизации квадратичных функ­ций при линейных ограничениях. Построены два метода второго по­рядка, в которых значения параметров при построении направлений находятся минимизацией вспомогательных квадратичных функций на множествах (в частности, многогранных), размерность которых зависит от числа активных ограничений. Предложены алгоритмы с параметризованными направлениями для решения задачи псевдовы­пуклого программирования, основанные на идеях метода возможных направлений Зойтендейка и метода линеаризации.
4. Предложены два релаксационных метода минимизации неглад­ких строго псевдовыпуклых функций на выпуклых и строго выпук­лых множествах. Для этих методов разработаны алгоритмы, в кото­рых построенными в первой главе процедурами аппроксимации лебе­говых множеств направления спуска находятся с помощью решения задач линейного программирования.
5. Показано, что упомянутый способ параметризации направлений может быть применен и для задач с негладкими целевыми функция­ми. Построен метод условной минимизации псевдовыпуклой функции максимума, в котором направления спуска на каждом шаге строятся в виде линейной комбинации градиентов активных функций исходной задачи, а коэффициенты комбинации находятся путем решения систе­мы линейных неравенств или задачи линейного программирования. Для задачи псевдовыпуклого программирования предложен вариант метода центров с параметризованними направлениями, строящимися с помощью решения задач линейного программирования.
6. На основе разработанной общей схемы безусловной минимиза­ции гладких функций построены новые одношаговые и многошаговые алгоритмы минимизации псевдовыпуклых функций, модифицирова­ны некоторых известные методы, для алгоритмов, вкладывающихся в схему, обоснована допустимость распараллеливания процесса ми­нимизации, доказана возможность построения на основе реализаций схемы новых сходящихся смешанных алгоритмов. Построены мето­ды спуска по группам переменных, причем, критерии отбора этих групп позволяют производить спуск на каждом шаге в подпростран­ствах любой размерности и допускают комбинирование переходов в подпространствах быстрых и медленных переменных.
7. Предложен подход, позволяющий исследовать устойчивость ал­горитмов безусловной минимизации псевдовыпуклых функций по от­ношению к ошибкам вычисления градиентов. На основе этого подхо­да доказана устойчивость в указанном смысле многих известных и новых одношаговых и многошаговых алгоритмов выпуклого и псев­довыпуклого программирования.
8. Разработаны методы решения некоторых специальных задач псевдовыпуклого программирования. В частности, предложены два алгоритма минимизации гладких псевдовыпуклых функций на до­пустимых областях в виде прямого произведения множеств из про­странств различной размерности, построен метод условной миними­зации функции максимума специального вида.
9. С применением разработанных в диссертации методик проведе­но обоснование всех предложенных здесь процедур, методов и схем, и для большинства из них получены оценки скорости сходимости. Раз­работана и использована практически для всех построенных в диссер­тации алгоритмов методика, позволяющая комбинировать эти алго­ритмы с любыми известными или новыми релаксационными метода­ми, не исследуя заново сходимость таких комбинированных методов и оценки их скорости сходимости.

2.Заботин И. Я. К вопросу о выборе направлений спуска в зада¬чах безусловной минимизации функций // Исслед. по прикл. матем. - Казань: Изд - во КГУ, 1981. - Вып. 9. - С. 37 - 42.

3.Заботин И. Я. Об одном методе типа условного градиента с час-тичным погружением допустимого множества // Системы програм¬много обеспечения решения задач оптимального планирования. Тез. докл. 7 Всесоюз. симп. (Нарва - Иыэсуу, 16 - 24 апр. 1982 г.) - М.: ЦЭМИ АН СССР, 1982. - С. 132.

4.Заботин И. Я. О методах безусловной минимизации функций с наилучшими относительно множества направлениями спуска // Изв. вузов. Математика. - 1982. - N 7. - С. 11 - 16.

5.Заботин И. Я. Один вариант метода Ньютона с погружением до-пустимого множества. - Казань, КГУ, 1983. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.01.83, N 353 - 83.

6.Заботин И. Я. Итеративная регуляризация метода условного градиента с погружением допустимого множества. - Казань, КГУ,

1983.- 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.02.83., N 852 - 83.

7.Заботин И. Я., Кобчиков А. В., Крейнин М. И., Лямин Е. В. Статистический метод проектирования информационно - управляю¬щих систем // Статистические методы исследования функционирова¬ния сложных технических систем (качество, эффективность, надеж¬ность). Материалы Всесоюз. науч. - практич. сем. (Москва, 24 - 26 мая 1983 г.) - М.: МЭСИ, 1983. - Ч. 1. - С. 212 - 213.

8.Заботин И. Я. Метод обобщенно - опорных гиперплоскостей для решения задачи математического программирования. - Казань, КГУ, 1982. - Деп. в ВИНИТИ 25.08.83., N 4633 - 83. - С. 19 - 28.

9.Заботин И. Я., Боглаевский О. В. О нерелаксационном процессе в методе минимизации функций с частичным погружением допусти¬мого множества. - Казань, КГУ, 1982. - Деп. в ВИНИТИ 25.08.83., N 4633 - 83. - С. 29 - 34.

10.Заботин И. Я., Кораблев А. И. Метод условного е - субгради¬ента // Изв. вузов. Математика. - 1983. - N 9. - С. 22 - 26.

11.Заботин И. Я. Метод типа проекции градиента, использующий погружение допустимого множества // Исслед. по прикл. матем. -Казань: Изд - во КГУ, 1984. - Вып. 11, часть 1. - С. 3 - 11.

12.Заботин И. Я., Лямин Е. В. Об одном варианте метода услов¬ного градиента // Исслед. по прикл. матем. - Казань: Изд - во КГУ,

1984.- Вып. 11, часть 1. - С. 11 - 23.

13.Заботин И. Я., Кобчиков А. В., Лямин Е. В. Применение одного варианта метода условного градиента для численного решения зада¬чи синтеза информационно-управляющей системы // Прием и обра¬ботка информации в сложных информационных системах. - Казань: Изд - во КГУ, 1984. - Вып. 14. - С. 27 - 34.

14.Заботин И. Я., Кораблев А. И. Метод условного е - субгради¬ента для минимизации квазивыпуклых функций // Проблемы теоре¬тической кибернетики. Материалы 7 Всесоюз. конф. - Иркутск, 1985. - Ч. 2. - С. 64 - 65.

15.Заботин И. Я., Крейнин М. И. Релаксационный субградиент¬ный метод минимизации строго выпуклых функций // Исслед. по прикл. матем. - Казань: Изд - во КГУ, 1987. - Вып. 14. - С. 34 - 42.

16.Заботин И. Я., Кобчиков А. В. Выбор оптимальных времен функционирования подсистем в информационно - управляющих сис-темах // Прием и обработка информации в сложных информацион¬ных системах. - Казань: Изд - во КГУ, 1987. - Вып. 16. - С. 10 -19.

17.Заботин И. Я. О минимизации функции максимума с разделяю-щимися переменными // Проблемы теоретической кибернетики. Тез. докл. 8 Всесоюз. конф. (июль, 1988) - Горький, 1988. - Ч. 1. - С. 119.

18.Заботин И. Я. Субградиентный метод отыскания седловой точ¬ки выпукло - вогнутой функции // Исслед. по прикл. матем. - Казань: Изд - во КГУ, 1988. - Вып. 15. - С. 6 - 12.

19.Заботин И. Я. О двух декомпозиционных методах типа коор-динатного спуска // Методы математич. программирования и про-граммное обеспечение. Тез. докл. 6 науч. конф. (Свердловск, 27 февр.

-3 марта 1989 г.) - Свердловск: УрО АН СССР, 1989. - С. 94.

20.Заботин И. Я. О декомпозиционных методах решения некото¬ рых экстремальных задач // Методы оптимизации и их приложения. Материалы Междунар. Байкальской школы - семинара (Иркутск, 10

-19 сент. 1989 г.) - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1989. - С. 95.

21.Заботин И. Я. О минимизации функции максимума специаль¬ ного вида // Исслед. по прикл. матем. - Казань: Изд - во КГУ, 1989.

-Вып. 16. - С. 101 - 108.

22.Заботин И. Я. О двух декомпозиционных методах условной минимизации функций // Системы программного обеспечения реше¬ния задач оптимального планирования. Тез. докл. 11 Всесоюз. симп. (Кострома, 21 - 29 мая 1990 г.) - М: ЦЭМИ АН СССР, 1990. - С. 22.

23.Заботин И. Я., Кобчиков А. В. О выборе оптимальных соотно-шений между массами блоков радиоэлектронной системы // Прием и обработка информации в сложных информационных системах. - Ка¬зань: Изд - во КГУ, 1990. - Вып. 18. - С. 64 - 70.

24.Заботин И. Я., Кобчиков А. В., Пилюгин А. Г. О выборе опти-мального числа радиолокационных станций в многопозиционных ра-диоэлектронных системах // Прием и обработка информации в слож¬ных информационных системах. - Казань: Изд - во КГУ, 1990. - Вып. 18. - С. 70 - 75.

25.Заботин И. Я., Кобчиков А. В. О реализациях некоторых ме¬тодов, применяемых при решении оптимизационных задач проекти¬рования // Автоматика и телемеханика. - 1991. - N 1. - С. 169 -172.

26.Заботин И. Я. Методы спуска по группам переменных для условной минимизации функций // Проблемы теоретической кибер-нетики. Тез. докл. 11 Всесоюз. конф. (сентябрь, 1990) - Волгоград, 1990.-Ч. 1(2).-С. 26.

27.Заботин И. Я. О некоторых методах спуска по группам пере-менных // Исслед. по прикл. матем. - Казань: Изд - во КГУ, 1992. -Вып. 19. - С. 24 - 33.

28.Заботин И. Я. Методы спуска по группам переменных для од¬ного класса задач условной минимизации // Исслед. по прикл. матем.

-Казань: Изд - во КГУ, 1992. - Вып. 18. - С. 48 - 59.

29.Заботин И. Я. Алгоритмы с комбинированием активных гра-диентов для отыскания условного минимакса // Изв. вузов. Матема¬тика. - 1993. - N 12. - С. 52 - 58.

30.Заботин И. Я. Метод минимизации с выбором направлений в виде комбинации активных градиентов // Математич. программи¬рование и приложения. Тез. докл. 9 Всерос. конф. (Екатеринбург, 27 февр. - 3 мар. 1995 г.) - Екатеринбург, 1995. - С. 98.

31.Заботин И. Я., Князев Е. А. Об одном варианте метода центров с адаптацией параметра // Математич. программирование и прило¬жения. Тез. докл. 9 Всерос. конф. (Екатеринбург, 27 февр. - 3 мар. 1995 г.) - Екатеринбург, 1995. - С. 99.

32.Заботин И. Я., Князев Е. А. О некоторых вариантах параметри-зованного метода центров // Методы оптимизации и их приложения. Материалы 10 Байкальской Междунар. школы - семинара (Иркутск, 14 - 19 авг. 1995 г.) - Иркутск, 1995. - С. 99.

33.Заботин И. Я., Князев Е. А. Вариант параметризованного ме¬тода центров // Изв. вузов. Математика. - 1995. - N 12. - С. 26 -32.

34.Заботин И. Я. Метод условной минимизации с параметричес¬ким заданием подходящих направлений // Изв. вузов. Математика.

-1996. - N 12.-С. 17-29.

35.Заботин И. Я. Об алгоритмах минимизации с параметризо-ванными направлениями спуска // Математич. программирование и приложения. Тез. докл. 10 Всерос. конф. (Екатеринбург, 24 - 28 февр. 1997 г.) - Екатеринбург, 1997. - С. 96.

36.Заботин И. Я. Алгоритмы прекционного типа с параметрическим заданием подходящих направлений // Проблемы оптимизации и экономические приложения. Материалы Междунар. конф. (Омск, 1 -5 июля 1997 г.) - Омск, 1997. - С. 73.

37.Заботин И. Я. Алгоритм второго порядка с параметризован¬ными направлениями для задач условной оптимизации // Изв. вузов. Математика. - 1997. - N 12. - С. 62 - 72.

38.Заботин И. Я. Многошаговые алгоритмы безусловной миними-зации псевдовыпуклых функций // Методы оптимизации и их при-ложения. Труды 11 Междунар. Байкальской школы - семинара (Ир¬кутск, Байкал, 5-12 июля 1998 г.) - Т. 1. - Иркутск, 1998. - С. 77 -80.

39.Заботин И. Я. Об алгоритмах второго порядка с параметри¬ческим заданием подходящих направлений // Методы оптимизации и их приложения. Труды 11 Междунар. Байкальской школы - семи¬нара (Иркутск, Байкал, 5-12 июля 1998 г.) - Т. 1. - Иркутск, 1998. -С. 51.

40.Заботин И. Я. Об одном подходе к построению алгоритмов без-условной минимизации псевдовыпуклых функций // Изв. вузов. Ма-тематика. - 1998. - N 12. - С. 29 - 39.

41.Заботин И. Я. Некоторые многошаговые методы безусловной минимизации и их устойчивость // Математич. программирование и приложения. Тез. докл. 11 Всерос. конф. (Екатеринбург, 22 - 26 февр. 1999 г.) - Екатеринбург, 1999. - С. 110.

42.Заботин И. Я. Об устойчивости некоторых методов безусловной минимизации // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы 12 Междунар. конф. (Нижний Новгород, 17 - 22 мая, 1999 г.) - Ч. 1. - М.: МГУ, 1999. - С. 75.

43.Заботин И. Я. Об алгоритмах с параметризованными направле-ниями в псевдовыпуклом программировании // Дискретный анализ и исследование операций. Материалы Междунар. конф. (Новосибирск, 26 июня - 1 июля 2000 г.) - Новосибирск, 2000. - С. 110.

44.Заботин И. Я. Об устойчивости алгоритмов безусловной ми-нимизации псевдовыпуклых функций // Изв. вузов. Математика. -2000. - N 12. - С. 33 - 48.

45.Заботин И. Я. Один способ исследования устойчивости алго-ритмов безусловной минимизации псевдовыпуклых функций // Ал-горитмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всерос. науч. Конф. (Екатеринбург, 26 февр. - 2 марта 2001 г.) - Екатеринбург, Изд

-во Уральского ун - та, 2001. - С. 216.

46.Заботин И. Я. О сходимости алгоритмов безусловной мини¬ мизации псевдовыпуклых функций при наличии помех // Проблемы теоретич. кибернетики. Материалы 13 Междунар. конф. (Казань, 27

-31 мая, 2002 г.) - Ч. 1. - М.: Изд - во центра прикладн. исследований при механико - математич. фак. МГУ, 2002. - С. 65.

47.Заботин И. Я. Проекционные алгоритмы с параметризованны¬ми направлениями спуска в псевдовыпуклом программировании // Исслед. по прикл. матем. и информатике - Казань: Изд - во Казанск. матем. общества, 2001. - Вып. 23. - С. 67-81.

48.Заботин И. Я. Вариант метода линеаризации с параметричес¬ким заданием направлений итерационного перехода // Дискретный анализ и исследование операций. Материалы Российской конф. (Но¬восибирск, 24 - 28 июня 2002 г.) - Новосибирск: Изд - во Института математики,2002. - С. 162.

49.Заботин И. Я. Метод с параметризованными направлениями для минимизации псевдовыпуклой функции // Актуальные проблемы математического моделирования и информатики. Материалы науч. конф. (Казань, 30 янв. - 6 февр. 2002 г.) - Казань: Изд - во Казанск. матем. общества, 2002. - С. 41 - 42.

50.Заботин И. Я. Метод минимизации негладкой строго псевдо¬выпуклой функции // Математич. программирование и приложения. Тез. докл. 12 Всерос. конф. ( Екатеринбург, 24 - 28 февр. 2003 г. ) -Екатеринбург, 2003. - С. 109.

51.Заботин И. Я. Метод условной минимизации строго выпуклых недифференцируемых функций // Проблемы оптимизации и экономи¬ческие приложения. Материалы Всерос. конф. (Омск, 1-5 июля 2003 г.) - Омск: Наследие. Диалог Сибирь, 2003. - С. 120.

52.Заботин И. Я. Релаксационные алгоритмы условной миними¬зации негладких строго псевдовыпуклых функций // Изв. вузов. Ма¬тематика. - 2003. - N 12. - С. 62 - 70.

53.Заботин И. Я. Алгоритм условной минимизации строго псевдо¬выпуклых функций // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всерос. конф. (Екатеринбург, 2-6 февр. 2004 г.) - Екате¬ринбург: Изд - во Уральского ун - та, 2004. - С. 273 - 274.

54.Заботин И. Я. О методах условной минимизации негладких строго псевдовыпуклых функций // Дискретный анализ и исследо¬вание операций. Материалы Российской конф. (Новосибирск, 24 - 28 июня 2004 г. ) - Новосибирск: Изд - во Института математики, 2004.

-С. 162.

55.Заботин И. Я. Одна общая схема решения задачи математи-ческого программирования и ее использование в алгоритмах мини-мизации псевдовыпуклых функций // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Всерос. семинара. (Казань, 1-4 окт. 2005 г.) - Казань: Изд - во КГУ 2005. - С. 83 - 86.

56.Заботин И. Я. Две процедуры отсечений и их использование в методах минимизации // Проблемы оптимизации и экономические приложения. Материалы 3 Всерос. конф. (Омск, 11 - 15 июля 2006 г.)

-Омск, 2006. - С. 139.

57.Заботин И. Я. Схема решения задачи псевдовыпуклого про-граммирования и ее реализации на основе процедур отсечений // Инфрормационный бюллетень N 11 Ассоциации математического про-граммирования. Конф. "Математич. программирование и приложе¬ния" (Екатеринбург, 26 фев. - 2 мар. 2007 г.) - Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - С. 47 - 48.

58.Заботин И. Я. Применение некоторых процедур отсечений в методах псевдовыпуклого программирования // Проблемы теоретич. кибернетики. Материалы 15 Междунар. конф. (Казань, 2-7 июня 2008 г.) - Казань: Отечество, 2008. - С. 38.

59.Заботин И. Я. Общая процедура отсечений и ее использование в реализациях некоторых алгоритмов минимизации // Методы опти-мизации и их приложения. Труды 14 Междунар. Байкальской школы

-семинара. - Т. 1. - Иркутск, ИСЭМ СО РАН, 2008. - С. 245 - 253.

60.Заботин И. Я. Метод с параметризацией направлений спуска и его реализации на основе процедур аппроксимации множеств // Проблемы оптимизации и экономические приложения. Материалы 4 Всерос. конф. (Омск, 29 июня - 4 июля 2009 г.) - Омск, 2009. - С. 139.