- Среди нелинейных задач эллиптического типа выделяется класс задач, заданных во всём пространстве. Трудность решения задач этого класса заключается в необходимости учёта условия убывания решения на бесконечности. Обычный подход к решению таких задач состоит в решении последовательности нелинейных задач для определения удалённой границы с асимптотическими условиями. В ранних работах автора для точного учёта поведения решения на бесконечности в качестве граничного условия было предложено использовать граничное интегральное уравнение. В результате получается комбинированная система, содержащая нелинейные дифференциальные уравнения в дивергентной или вихревой формах в ограниченной области и граничное условие в виде интегрального уравнения. Видимо, независимо от исследований автора через двенадцать лет в CERN была разработана программа, которая использовала аналогичный алгоритм включения интегрального уравнения в общую расчётную схему. Кроме того, эта программа применялась для расчёта главного дипольного магнита Большого Адронного Коллайдера. В диссертационной работе впервые на основе теории монотонных операторов исследованы комбинированные системы относительно специальных проекций векторов на пространства функций с интегрируемыми в квадрате градиентами и на пространства вектор-функций с интегрируемыми в квадрате роторами. Впервые получены комбинированные системы, использующие только один граничный оператор на произвольной границе вокруг расчётной области, включающей подобласти с нелинейными и линейными дифференциальными уравнениями. Решение задач с медленно убывающими на бесконечности искомыми функциями с помощью таких систем экономит общее время компьютерных вычислений. Одна из таких систем использовалась для моделирования дипольного магнита синхротрона СПИН ОИЯИ с помощью метода конечных элементов, и полученные результаты хорошо согласуются с расчётами по конечно-разностной программе.
- Ещё один класс нелинейных эллиптических задач, рассмотренный в диссертации, - это задачи относительно вектор-функций с системами из двух дифференциальных уравнений первого порядка в дивергентной и вихревой формах. В работе разработаны общие подходы к решению таких задач. В частности, впервые на основе теории о монотонных операторах доказаны теоремы о разрешимости рассмотренных систем в специальных векторных гильбертовых пространствах и сходимости соответствующих приближённых решений к точному. Решение известных нелинейных эллиптических задач в таком виде позволяет получать векторные поля с более высоким уровнем точности при меньших компьютерных затратах. Важной составляющей частью оригинальных подходов являются узловые конечные элементы высокого порядка аппроксимации без внутренних узлов, которые предложены впервые. Базисные функции этих элементов удовлетворяют либо уравнениям со скалярным или векторным оператором Лапласа, либо одновременно двум однородным дифференциальным уравнениям первого порядка с оператором дивергенции и оператором ротора. Впервые показано, что использование таких элементов при решении краевых задач с указанными операторами приводит к конечно-элементным алгебраическим системам с симметричными, положительно-определёнными матрицами. Новые элементы тестировались на типичной задаче интерполяции в рабочей области магнитного спектрометра. Из проведённых расчётов следует, что предлагаемые элементы обеспечивают более быструю сходимость приближённых решений, чем в случае использования обычных конечных элементов лагранжевого типа.
- В диссертации разработан ряд новых методов и алгоритмов, которые вносят существенный вклад в методику решения ряда прямых и обратных трёхмерных нелинейных задач магнитостатики. Во-первых, это проекционно-сеточный метод и адаптивный алгоритм вычисления скалярного потенциала, создаваемого проводниками с постоянным током, на границах несвязных областей вне проводников. Этот метод предлагается использовать при решении нелинейных задач магнитостатики в известной формулировке относительно двух скалярных потенциалов. Он позволяет без риска накопления ошибки при вычислении скалярного потенциала проводников использовать кубатурные формулы для интегрирования поля по закону Био-Савара. При обосновании метода использовалась теория сильно монотонных операторов. Его эффективность проверялась при расчётах ряда магнитных систем. Итоговые результаты расчётов хорошо согласуются с измерениями магнитного поля.
- Одним из свойств проекционно-сеточных схем, которые используются для решения сложных эллиптических задач, является локальная аппроксимация. Для её апостериорной оценки существует несколько различных методов, где допустимая величина локальной погрешности задаётся из опыта решения подобных задач. В диссертации для задач магнитостатики эту допустимую величину предлагается определять на основе данных интерполяции измеренного с высокой точностью магнитного поля. В качестве эталона используются измеренные магнитные поля для установок L3 (CERN) и ЭКСЧАРМ (ИФВЭ, г.Протвино). Предложенные в диссертации новые характеристики локальной аппроксимации позволяют не только получать расчётные магнитные поля высокого качества, но и оценивать качество полей, измеренных на определённой сетке.
- С практической точки зрения, важным классом задач магнитостатики являются обратные задачи построения моделей электрофизических устройств с заданным магнитным полем. В диссертации предложены два оригинальных алгоритма решения задач из этого класса. В первом случае уточняется поверхность ферромагнетика при заданном высокооднородном магнитном поле с учётом его нелинейного поведения. Доказана теорема о сходимости итерационного процесса уточнения. Этот алгоритм позволил обосновать магнитную систему для проекта эксперимента в ИТЭФ (г. Москва), поддержанного грантом РФФИ 97-02-16765. Во втором алгоритме строится компьютерная модель спектрометрического анализирующего магнита по заданной поворотной силе, размеру рабочей области и некоторым другим параметрам. Предложенные алгоритмы существенно сокращают общее время построения компьютерных моделей магнитов с заданными свойствами.
2.Е.П.Жидков, А.В.Фёдоров, О.И.Юлдашев. Использование метода Галёркина для решения интегрального уравнения магнитостатики относительно векторного потен¬циала. Дифференциальные уравнения, т.28, N 10, 1992, с. 1821-1828.
3.Е.П.Жидков, О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. Адаптивный алгоритм вычисления функции на липшицевой границе трёхмерного тела по заданному градиенту и его применение в магнитостатике. Журнал вычислительной математики и математи¬ческой физики, т.42, N 12, 2002, с.1854-1869.
4.E.P.Zhidkov, O.I.Yuldashev, M.B.Yuldasheva. A projection method for solving linear problems with the divergence, curl operators and its application in magnetostatics. Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Прикладная и компьютерная математика, N 1(1), 2002, с.79-86.
5.Е.П.Жидков, О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. Новые проекционные формулировки относительно векторов поля для решения нелинейных задач магнитостатики. Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Прикладная и компьютерная математика, т.2, N 2, 2003, с. 104-115.
6.Е.П.Жидков, В.В.Рыльцов, О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. Численное решение задачи формирования однородного магнитного поля за счёт изменения занимаемого фер-ромагнетиком объёма для некоторых магнитных систем экспериментальной физики. Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Физика, N 12, 2004, с.17-25.
7.Е.П.Жидков, О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. О контроле точности вычислений при моделировании пространственных магнитных полей. Вестник Российского универ¬ситета дружбы народов. Серия Прикладная и компьютерная математика, т.4, N 1, 2005, с.93-101.
8.О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. Об одном классе конечных элементов с гармоническими базисными функциями. Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Математика. Информатика. Физика, N 2 (2), 2010, с.44-48.
9.A.Ivanov, S.Ivashkevich, ... I.Meshkov, ... O.Yuldashev. Focusing system of the modified betatron: design, technology, manufacturing and test. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, section A, v.441, 2000, p.262-266.
10.P.G. Akishin, E.V. Arkhipov, ... A.S.Vodopianov, ... O.I. Yuldashev. Superconducting dipole magnet for ALICE dimuon arm spectrometer. Краткие сообщения ОИЯИ, N 1, 1997, p.81-94.
11.Э.А.Айрян, Е.П.Жидков, Б.Н.Хоромский, О.И.Юлдашев. Алгоритм учёта условий на бесконечности в двумерных задачах магнитостатики. ОИЯИ, Р11-87-49, Дубна, 1987, 15с.
12.Е.П.Жидков, В.В.Журавлев, В.С.Кладницкий, И.М.Матора, А.В. Фёдоров, О.И.Юлдашев. О формировании однородного магнитного поля на инжекторном уча¬стке ЛИУ-30. ОИЯИ, Р9-88-508, Дубна, 1988, 11с; http://ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?8811447.
13.Е.П.Жидков, А.В.Фёдоров, О.И.Юлдашев. Алгоритм численного моделирования фокусирующей магнитной системы ЛИУ. Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Вычислительная физика и математическое моделирование", Волгоград-1989, УДН, М., 1989, с.46-47.
14.Е.П.Жидков, В.В.Журавлев, В.С.Кладницкий, И.М.Матора, А.В. Фёдоров, О.И.Юлдашев. О формировании однородного магнитного поля на инжекторном участ¬ке ЛИУ-30 с использованием ферромагнитных колец. Труды XI Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц. ОИЯИ, Д9-89-52, Дубна, 1989, т.1, с.381-383.
15.E.A.Ayrjan, E.P.Zhidkov, A.V.Fedorov, O.I.Yuldashev. A Galerkin Method for Solving the Magnetostatic Nonlinear Potential Integral Equations. Proceedings of International Symposium on Numerical Analisis (ISNA´92). Part III, Contributed Papers. Prague, August 31-September 4, 1992, p.20-32.
16.E.A.Ayrjan, A.V.Fedorov, O.I.Yuldashev, E.P.Zhidkov. One approach for coupling FEM and BEM. Proceedings of International Symposium on Numerical Analisis (ISNA´92). Part III, Contributed Papers. Prague, August 31-September 4, 1992, p.12-19.
17.P.G.Akishin, A.S.Vodopianov, I.V.Puzynin, Yu.A.Shishov, M.B.Yuldasheva, O.I.Yuldashev. Computing Models of the L3 Magnet and Dipole Magnet for the ALICE Ex-periment. CERN-ALICE 96-06, Int. Note/Mag, 4 April, 1996, 21p.
18.P.G. Akishin, E.A. Arkhipov, ... A.S.Vodopianov, ... O.I. Yuldashev. Conceptual design of the warm dipole magnet for the ALICE forward muon spectrometer. CERN-ALICE 96-26, Int. Note/Mag, 1996, Юр.
19.П.Г.Акишин, А.С.Водопьянов, И.В.Пузынин, Ю.А.Шишов, М.Б.Юлдашева, О.И.Юлдашев. Моделирование поля мюонного детектора установки ALICE. XV Совещание по ускорителям заряженных частиц, сборник докладов. ГНЦ РФ ИФВЭ, Протвино, 1996, т.2, с.182-185.
20.A.S. Vodopianov, Yu.A. Shishov, M.B. Yuldasheva, O.I. Yuldashev. Computer models of dipole magnets of a series "VULCAN" for the ALICE experiment. JINR, Ell-98-385, Dubna, 1998. 18p.; http://cdsweb.cern.ch/search?sysno=000328897CER
21.Р.И.Давлетшин, Е.П.Жидков, В.В.Куликов, В.В.Рыльцов, О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. Компьютерная модель магнита для проекта эксперимента с поляризованной мишенью в ИТЭФ. Расчёт основных вариантов без поляризующих наконечников. ОИЯИ, РП-98-351, Дубна, 1998, 18с.
22.J.Ritman, O.I.Yuldashev, M.B.Yuldasheva. An algorithm for construction of dipole magnets computer models with quality control and its application for the PANDA Forward Spectrometer. JINR, El 1-2005-49, Dubna, 2005, 19p.
23.О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. Новый проекционно-сеточный подход для моделирования пространственных нелинейных магнитных полей сложных магнитных систем экспериментальной физики. Международная конференция "Тихонов и современная математика", Тезисы докладов секции Математическое моделирование, с.189-190. М., МГУ, 2006.
24.О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. Гармонические базисные функции для конечных элементов высокого порядка аппроксимации. JINR LIT Scientific Report 2006-2007, JINR, Dubna, 2007, c.317-320.
25.О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. О конечно-элементном подходе относительно векторов поля для расчётов сложных магнитных систем экспериментальной физики. JINR LIT Scientific Report 2006-2007, JINR, Dubna, 2007, c.234-238.
26.O.I.Yuldashev, M.B.Yuldasheva. 3D finite elements with harmonic basis functions for approximations of high order. JINR, Ell-2008-104, Dubna, 2008, 24p.
27.О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. Новое правило построения квадратичных функционалов для решения методом конечных элементов относительно вектор-функций краевых задач с системой из двух уравнений первого порядка в дивергентной и вихревой формах. JINR LIT Scientific Report 2008-2009, JINR, Dubna, 2009, c.113-116.
28.О.И.Юлдашев, М.Б.Юлдашева. Конечно-элементные векторные узловые базисные функции из специальных гильбертовых пространств. JINR LIT Scientific Report 2008-2009, JINR, Dubna, 2009, c.105-108.