Научная тема: «ЛИНЕЙНАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ P-АДИЧЕСКИХ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ»
Специальность: 01.01.03
Год: 2010
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Исследовано понятие присоединенного однородного распределения (ПОР) в V´(R). Введено определение квазиприсоединенного однородного распределения (КПОР), обобщающее определение ПОР. Построена теория одномерных вещественных КПОР. Для многомерных вещественных КПОР доказан аналог классической теоремы Эйлера. Построена теория p-адичес-ких КПОР.
  2. Были введены и изучены p-адические аналоги пространств Лизор-кина основных функций и распределений, инвариантные относительно од­ного класса p-адических псевдодифференциальных операторов (который включает оператор дробного дифференцирования и интегрирования). Эти пространства являются естественной областью определения псевдодиф­ференциальных операторов и должны играть центральную роль в моде­лях, связанных с p-адическими псевдодифференциальными операторами и уравнениями.
  3. Введено определение p-адической версии кратно-масштабного ана­лиза (КМА). Предложено масштабирующее уравнение, которое отражает самоподобие топологической структуры Qp. Построена теория p-адических одномерных и многомерных всплесков (вейвлет) хааровского типа. Опи­сан широкий класс p-адических масштабирующих функций, порождаю­щих КМА. Построено бесконечное семейство p-адических одномерных и многомерных базисов всплесков (вейвлет) нехааровского типа. Доказан p-адический аналог теоремы Шеннона-Котельникова.
  4. На пространствах Лизоркина определены и исследованы операторы дробного дифференцирования и интегрирования Владимирова и Тайблесо-на (в дальнейшем будем называть эти операторы дробными оператором). Также введен новый класс многомерных псевдодифференциальных опе­раторов, включающий в себя дробные операторы, а также псевдодиффе­ренциальные операторы, изученные в работах А.Н. Кочубея и В. Зуниги-Галинды. Построена спектральная теория упомянутых выше псевдодиффе­ренциальных операторов. Получены необходимые и достаточные условия того, что p-адические всплески являются собственными функциями псев­додифференциальных операторов. Доказано, что все построенные нами p-адические всплески являются собственными функциями дробного опера­тора.
  5. Разработан метод решения p- адических псевдодифференциальных эволюционных уравнений (где t ∈ R, x ∈ Qnp), использующий теорию p-адических всплесков. Это "метод разделения переменных", который явля­ется аналогом классического метода Фурье. Используя этот метод, в явном виде найдены решения задач Коши для p-адических линейных (первого и второго порядка по t) и полулинейных псевдодифференциальных эволю­ционных уравнений.
  6. Введено определение и исследованы свойства квази-асимптотики p-адического распределения. Доказаны p-адические многомерные тауберовы теоремы для распределений Лизоркина.
  7. Доказаны теоремы, описывающие асимптотическое поведение p-ади-ческих сингулярных интегралов Фурье.
Список опубликованных работ
[1] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Присоединенные однородные р-адические обобщенные функции, Доклады РАН, 393, no. 3, (2003), 300-303.

[2] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Ассоциативные ал¬гебры р-адических распределений, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 245, 2004, Москва, 29-41.

[3] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Нелинейные син-гулярные проблемы р-адического анализа: ассоциативные алгебры р-адических распределений, Известия Академии Наук, Сер. Матем., 69, no. 2, 2005, 3-44.

[4] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, р-Адические полу¬линейные эволюционные псевдодифференциальные уравнения в про¬странствах Лизоркина, Доклады РАН, 415, no. 3, (2007), 295-299.

[5] О. Г. Смолянов, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Мультипликатив-ные структуры в линейном пространстве векторнозначных распреде-лений, Доклады РАН, 383, no. 1, (2002) 28-31.

[6] А.Ю. Хренников, В.М. Шелкович, Нехааровские р-адические всплес-ки и псевдодифференциальные операторы, Доклады РАН, 418, no. 2, (2008), 167-170.

[7] В.М. Шелкович, Теория обобщенных функций Коломбо, использую-щая гармонические регуляризации, Матем. заметки, 63, no. 2, 1998, 313-316.

[8] В.М. Шелкович, Сингулярные решения систем законов сохранения ти¬па 6- и ^-ударных волн и процессы переноса и концентрации, Успехи Математических Наук, 63, вып. 3(381), (2008), 73-146.

[9] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Associated homogeneous p-adic distributions, J. Math. An. Appl, 313, (2006), 64-83.

[10] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, p-adic Colombeau-Egorov type theory of generalized functions, Mathematische Nachrichten, 278, no. 1-2, (2005), 3-16.

[11] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Harmonic analysis in the p-adic Lizorkin spaces: fractional operators, pseudo-differential equations, p-adic wavelets, Tauberian theorems, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 12, Issue 4, (2006), 393-425.

[12] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Pseudo-differential operators in the p-adic Lizorkin space, in: p-Adic Mathematical Physics. 2-nd International Conference, Belgrade, Serbia and Montenegro, 15-21 September 2005, Eds: B. Dragovich, Z. Rakic, Melville, New York, 2006, AIP Conference Proceedings - March 29, 2006, Vol. 826, Issue 1, 195-205.

[13] V.G. Danilov, G.A. Omel´yanov, V.M. Shelkovich, Weak Asymptotics Method and Interaction of Nonlinear Waves, in Mikhail Karasev (ed.), “Asymptotic Methods for Wave and Quantum Problems”, Amer. Math. Soc. Transl, Ser. 2, 208, 2003, 33-165.

[14] A.Yu. Khrennikov, and V.M. Shelkovich, Tauberian theorems for p-adic distributions, Integral Transforms and Special Functions, 17, no. 02-03, (2006), 141-147.

[15] A.Yu. Khrennikov, and V.M. Shelkovich, Distributional asymptotics andp-adic Tauberian and Shannon-Kotelnikov theorems, Asymptotical Analysis, 46(2), (2006), 163-187.

[16] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Non-Haar p-adic wavelets and their application to pseudo-differential operators and equations, Applied and Computational Harmonic Analysis, 28, (2010), 1-23.

[17] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Asymptotical behavior of one class of p-adic singular Fourier integrals, J. Math. An. Appl, 350, Issue 1, (2009), 170-183.

[18] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, An infinite family of p-adic non-Haar wavelet bases and pseudo-differential operators, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 3, (2009), 204-216.

[19] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic refinable functions and MRA-based wavelets, (2007), Journal of Approximation Theory, 161, (2009), 226-238.

[20] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic orthogonal wavelet bases, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 2, (2009), 145–156.

[21] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, O.G. Smolyanov, Locally convex spaces of vector-valued distributions with multiplicative structures, Infinite-Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 5, no. 4, (2002), 1–20.

[22] A. Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, and O.G. Smolyanov, An associative algebra of vector-valued distributions and singular solutions of nonlinear equations, in: Mathematical modelling in physics, engineering and cognitive sciences. v. 7. Proceedings of the conference “Mathematical Modelling of Wave Phenomena”, November 2002. Edited by B. Nilsson and L. Fishman, V¨axj¨o University Press, 2004, 191–205.

[23] V.M. Shelkovich, Associated and quasi associated homogeneous distributions (generalized functions), J. Math. An. Appl., 338, (2008), 48–70.

[24] V. M. Shelkovich, The Colombeau algebra and an algebra of asymptotical distributions, Proceedings of the International Conference on Generalized Functions (ICGF 2000), eds. A. Delcroix, M. Hasler, J.-A. Marti, V. Valmorin, University of French West Indies. Cambridge Scientific Publishers Ltd., 2004, 317–328.

[25] V.M. Shelkovich, New versions of the Colombeau algebras, Mathematische Nachrichten, 278, no. 11, 2005, 1–23.

[26] V.M. Shelkovich, Delta-shocks, the Rankine–Hugoniot conditions, and singular superposition of distributions, Proceedings of International Seminar Days on Difraction’2004, June 29-July 2, 2004, Faculty of Physics, St.Petersburg, 2004, 175–196.

[27] V.M. Shelkovich, Singular solutions to systems of conservation laws and their algebraical aspect, in the Banach Center Publications, Vol. 88, “Linear and non-linear theory of generalizeed functions and its applications” Warszawa, Poland, 2010, 251–266.

[28] V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic Haar multiresolution analysis and pseudo-differential operators, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 15, Issue 3, (2009), 366–393.