Научная тема: «ТЕОРЕМЫ ТИПА БОРСУКА-УЛАМА В КОМБИНАТОРНОЙ И ВЫПУКЛОЙ ГЕОМЕТРИИ»
Специальность: 01.01.04
Год: 2010
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Доказан аналог теоремы Брауэра для общих неподвижных то­чек нескольких послойных отображений пространства вектор­ного расслоения. Изучены некоторые близкие вопросы тополо­гии многообразий Грассмана и канонических расслоений над ними.
  2. Доказаны новые случаи в гипотезе Тверберга о трансверса-лях, получены обобщения теоремы Тверберга о трансверсалях в духе цветной теоремы Тверберга.
  3. Доказаны «двойственные» аналоги теорем о центральной точ­ке и Тверберга для конечных наборов гиперплоскостей. При­ведены обобщения этих теорем в духе гипотезы Тверберга о трансверсалях.
  4. Доказано обобщение теоремы Кнастера-Куратовского-Мазур-кевича для покрытий произведения симплексов. Исследованы некоторые следствия этого обобщения.
  5. Получены новые теоремы о разбиении мер гиперплоскостями, критерии существования плоской трансверсали, и теоремы ти­па Хелли для плоских трансверсалей.
  6. Получена новая оценка снизу на количество замкнутых траек­торий с данным количеством отражений для бильярда в глад­ком выпуклом компакте.
  7. Доказаны теоремы о вписывании кроссполитопов (многомер­ных октаэдров) в гладкие выпуклые тела и гиперповерхности с некоторыми ограничениями на симметричность кроссполи-топа. Доказан результат о делении меры с системой конусов с общей вершиной.
  8. Доказано утверждение о категории в смысле Люстерника-Шни-рельмана прообраза точки при непрерывном отображении.
Список опубликованных работ
[1] Р.Н. Карасёв, "Раскрашенная версия леммы Кнастера-Куратовского-Мазуркевича", Моделирование и анализ информационных систем, 13:2 (2006), 66-70.

[2] R.N. Karasev, “Tverberg’s transversal conjecture and analogues of nonembed-dability theorems for transversals”, Discrete and Computational Geometry, 38:3 (2007), 513-525.

[3] Р.Н. Карасёв, "Род и категория Люстерника-Шнирельмана прообразов", Моделирование и анализ информационных систем, 14:4 (2007), 66-70.

[4] Р.Н. Карасёв, "Двойственные теоремы о центральной точке и их обобще¬ния", Мат. сборник, 199:10 (2008), 41-62.

[5] R.N. Karasev, “Periodic billiard trajectories in smooth convex bodies”, Geomet¬ric and Functional Analysis, 19:2 (2009), 423-428.

[6] Р.Н. Карасёв, "Топологические методы в комбинаторной геометрии", Успехи мат. наук, 63:6(384) (2008), 39-90.

[7] Р.Н. Карасёв, "Вписывание правильного кроссполитопа", Мат. заметки (в печати).

[8] R.N. Karasev, “Equipartition of a measure by (Zp)fc-invariant fans”, Discrete and Computational Geometry, 43:2 (2010), 477-481.

[9] R.N. Karasev, “The genus and the category of configuration spaces”, Topology and its Applications, 156:14 (2009), 2406-2415 doi10.1016/j.topol.2009.06.012.

[10] R.N. Karasev, “Knaster’s problem for (Z2)fc-symmetric subsets of

the sphere S2 _1”, Discrete and Computational Geometry, 2009 doi10.1007/s00454-009-9215-x.

[11] Р.Н. Карасёв, "Теоремы типа Борсука-Улама для плоскостей и плоские трансверсали семейств выпуклых компактов", Мат. сборник, 200:10 (2009), 39-58.

[12] R.N. Karasev, A.Yu. Volovikov, "Knaster´s problem for almost (Zp)fc-orbits", Topology and its Applications, 157:5 (2010), 941-945.