- Исследована структура наследственных систем и их частных случаев - коматроидов. Предложены различные аксиоматизации коматроидов. Получена характеризация графов циклов коматроидов и целочисленных полиматроидов.
- Дано новое эквивалентное определение наследственной системы в терминах замыкания. Для наследственных систем графов доказан аналог теоремы Биркгофа-Уитни о представлении геометрических решеток. Доказана теорема, устанавливающая связь между коматроидами и решетками, двойственными геометрическим.
- Получена гарантированная оценка погрешности жадного алгоритма в терминах параметров допустимой области и целевой функции задачи максимизации аддитивной функции на наследственной системе, уточняющая известную оценку Дженкинса-Корте-Хаусмана. Предложена ха-рактеризация класса целевых функций задач на матроидах, разрешимых жадным алгоритмом, и доказано обобщение теоремы Радо-Эдмондса для задачи максимизации функции из этого класса.
- Аналогичные оценки доказаны для задачи минимизации аддитивной функции на наследственной системе. Как следствие получены оценки погрешности обратного жадного алгоритма для задачи о минимальном двусвязном остовном подграфе и задачи о наименьшей раскраске графа. Установлена эквивалентность задачи минимизации аддитивной функции на наследственной системе и задачи о минимальном покрытии множества.
- Получены оценки погрешности обратного жадного алгоритма для задачи минимизации невозрастающей супермодулярной функции на ко-матроиде. Как следствие получены оценки погрешности этого алгоритма для общей задачи о pмедиане на минимум. Исследована задача минимизации неубывающей супермодулярной функции на матроиде, к которой сведена известная задача аппроксимации графа.
- Предложена постановка задачи матроидной аппроксимации, частным случаем которой является задача аппроксимации графа. Получена оценка аппроксимационной сложности графа для одного варианта задачи аппроксимации графа. Доказано, что задача аппроксимации графами с заданным числом компонент связности ЖР-трудна.
- Предложены алгоритмы приближенного решения задачи аппроксимации графа, получены гарантированные оценки погрешности этих алгоритмов. Показано, что жадный алгоритм является гарантированно асимптотически точным алгоритмом аппроксимации неплотных графов. Доказано существование полиномиальной приближенной схемы для одного варианта задачи.
2.[44] Выплов М.Ю., Ильев В.П. О гиперграфах, соответствующих опе¬раторам слабого замыкания // Эл. сб. материалов VIII Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управляющих систем". Москва. 2009. С. 30-34.
3.[45] Ильев В.П., Фридман Г.Ш. К задаче аппроксимации графами с фик¬сированным числом компонент // Докл. АН СССР. 1982. Т. 264, N 3. С. 533-538.
4.[46] Ильев В.П., Фридман Г.Ш., Филичкина М.А. Об аппроксимации ориентированных графов графами с фиксированным числом биком-понент // Моделирование и оптимизация структурных систем. Бар¬наул. 1982. С. 54-61.
5.[47] Ильев В.П., Фридман Г.Ш. К задаче аппроксимации трехкомпонент-ными графами // Численные методы и задачи оптимизации. Томск. 1983. С. 80-95.
6.[48] Ильев В.П. О базисных графах полиматроидов // Методы дискрет¬ного анализа в изучении реализаций логических функций. Сб. науч. тр. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР. 1984. Вып. 41. С. 35-48.
7.[49] Ильев В.П. Одна задача матроидной аппроксимации // Методы решения и анализа задач дискретной оптимизации. Омск. 1992. С. 42-51.
8.[50] Ильев В.П. Оценка погрешности градиентного алгоритма для систем независимости // Дискрет, анализ и исслед. операций. 1996. Т. 3, N 1. С. 9-22.
9.[51] Ильев В.П. Оценка точности алгоритма жадного спуска для зада¬чи минимизации супермодулярной функции // Дискрет, анализ и исслед. операций. Сер. 1. 1998. Т. 5, N 4. С. 45-60.
10.[52] Ильев В.П., Молдованов И.А. О градиентном алгоритме построе¬ния надежных коммуникационных сетей // Труды ИВМиМГ. Сер. "Информатика". Новосибирск. 1998. С. 60-69.
11.[53] Ильев В.П., Линкер Н.В. К задаче минимизации супермодулярной функции на коматроиде // Вестник Омского университета. 2002. N 1. С. 16-18.
12.[54] Ильев В.П., Талевнин А.С. Две задачи на наследственных систе¬мах // Дискрет, анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2003. Т. 10, N 3. С. 54-67.
13.[55] Ильев В.П. Оценки погрешности приближенного алгоритма для за¬дачи о раскраске графа // Труды XIII Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск-Северобайкальск. 2005. Т. 1. С. 491-495.
14.[56] Ильев В.П. Алгоритмы с оценками для задачи о pмедиане и ее обоб¬щений // Материалы III Всероссийской конф. "Проблемы оптими¬зации и экономические приложения". Омск. 2006. С. 32-36.
15.[57] Ильев В.П. Задачи комбинаторной оптимизации на наследственных системах // Материалы Российской конф. "Дискретная оптимизация и исследование операций". Владивосток. 2007. С. 41-45.
16.[58] Ильев В.П., Навроцкая А.А., Талевнин А.С. Полиномиальная при¬ближенная схема для задачи аппроксимации неплотных графов // Вестник Омского университета. 2007. N 4. С. 24-27.
17.[59] Ильев В.П. Оценки погрешности жадных алгоритмов для задач на наследственных системах // Дискрет, анализ и исслед. операций. 2008. Т. 15, N 1. С. 44-57.
18.[60] Ильев В.П., Ильева С.Д. Оценка погрешности жадного алгоритма для задачи аппроксимации графа // Труды XIV Байкальской меж¬дународной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложе¬ния". Иркутск-Северобайкальск. 2008. Т. 1. С. 396-404.
19.[61] Ильев В.П., Ильева С.Д., Навроцкая А.А. Оценки погрешности ал¬горитмов приближенного решения задачи аппроксимации графа // Труды VIII Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управ¬ляющих систем". Москва. 2009. С. 120-127.
20.[62] Ильев В.П., Ильева С.Д. Задачи минимизации супермодулярных функций на матроидах и коматроидах // Материалы IV Всероссий¬ской конф. "Проблемы оптимизации и экономические приложения". Омск. 2009. С. 51-55.
21.[63] Ильев В.П., Ильева С.Д. 3-приближенный алгоритм для одного ва¬рианта задачи аппроксимации графа // Вестник Омского универси¬тета, 2009. N 4. С. 77-79.
22.[64] Кукина О.Г., Ильев В.П. Коматроиды и решетки их открытых мно¬жеств // Труды 37-й Региональной молодежной конф. "Пробле¬мы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. 2006. С. 53-57.
23.[65] Кукина О.Г., Ильев В.П. Наследственные системы и решетки // Ма¬териалы IX Междунар. семинара "Дискретная математика и ее при¬ложения". Москва. 2007. С. 228-231.
24.[66] Il´ev V.P., Ofenbakh I.V. Optimization models and algorithms of const¬ructing reliable networks // System Modelling and Optimization. Proc. 18th IFIP TC7 Conf. Detroit. 1997. Research Notes in Mathematics. London: Chapman к Hall/CRC. 1999. V. 396. P. 237-244.
25.[67] Il´ev V.P. An approximation guarantee of the greedy descent algorithm for minimizing a supermodular set function // Discrete Appl. Math. 2001. V. 114, N 1-3. P. 131-146.
26.[68] Il´ev V. Hereditary systems and greedy-type algorithms // Discrete Appl. Math. 2003. V. 132, N 1-3. P. 137-148.
27.[69] Il´ev V., Linker N. Steepest descent algorithm for minimizing a super-modular set function on comatroid // Proc. 2nd Intern. Workshop "Discrete Optimization Methods in Production and Logistics". Omsk-Irkutsk. 2004. P. 166-168.
28. Il´ev V., Linker N. Performance guarantees of a greedy algorithm for minimizing a supermodular set function // European J. Oper. Res. 2006. V. 171, N 2. P. 648-660.