Асхабов Султан Нажмудинович

1. Построены новые классы сингулярных интегральных операторов, дей­ствующих из (вещественных и комплексных) весовых пространств Лебега L_p(q), р > 1, не в себя, а в сопряженные с ними пространства L_p>(g^l~^p ) и обладающих свойством положительности. Такого вида операторы имеют важные приложения, например, в теории дифференциальных уравнений (уравнение Пенлеве V) и определителей Фредгольма, теории случайных матриц (модели случайно-матричного типа) и других^{10 11 12 13}.
2. Без ограничений на абсолютную величину параметров доказаны гло­бальные теоремы существования и единственности для трех различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений в (веществен­ных и комплексных) пространствах L_p(g) с общим (не обязательно сте­пенным) весом д(х) как в случае конечного, так и (впервые) бесконечного контура интегрирования. Условия, накладываемые на нелинейность, яв­ляются необходимыми и достаточными для того, чтобы порождаемый ею оператор суперпозиции был непрерывным и монотонным.
3. Впервые доказано, что решения нелинейных сингулярных интеграль­ных уравнений с ядрами Гильберта и Коши могут быть найдены в про­странствах Ьг(Γ) (как в вещественных, так и в комплексных) методом по­следовательных приближений пикаровского типа при любых (по абсолют­ной величине) значениях параметров. Без дополнительных ограничений получены также оценки скорости сходимости последовательных приближе­ний. Эти результаты охватывают и линейные сингулярные интегральные уравнения (в частности уравнения, возникающие при описании процесса обтекания двух проницаемых профилей потоком несжимаемой жидкости).
4. В случае вещественных и комплексных пространств L_P(R ) теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решения для всех рассматриваемых классов нелинейных сингулярных интеграль­ных уравнений доказаны различными методами, имеющими самостоятель­ный интерес. При этом, в отличие от случая отрезка [а,&], последователь­ные приближения и оценки скорости их сходимости получены в терминах исходного нелинейного оператора F, а не обратного к нему оператора F~^l.
5. Получены новые теоремы о строгой положительности операторов / ошиш г В и = Ь(х) 1------ п-dt, 0 < а < 1, Р^и = ю(х - t) u[t)dt, ^V ´ J W t J где -оо<а<6<оо, частными случаями которых являются риссовы по­тенциалы и логарифмические потенциалы. При этом обобщаются некото­рые результаты С. Геллерстедта, Ф. Трикоми и А.М. Нахушева¹⁴, имеющие важные приложения в теории рядов Фурье и дробном исчислении, и допол­няются некоторые результаты К. Андерсена, Э. Сойера¹⁵, Д.В. Прохорова и В.Д. Степанова¹⁶, касающиеся операторов Римана-Лиувилля.
6. Доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений для трех различных классов нелинейных интегральных уравнений, содержащих операторы типа потенциала £>^а, Р^ и операто­ры дробного интегрирования Римана-Лиувилля. При этом ограничения на нелинейность, касающиеся строгой монотонности, снимаются, а оставши­еся имеют тот же вид, что и в случае соответствующих нелинейных син­гулярных интегральных уравнений, однако ограничения на р меняются на противоположные.
7. Установлена потенциальность операторов £>^а, Р^ (т.е. что они явля­ются градиентами некоторых функционалов), на основании чего исследо­ван вопрос об оптимизации приближенных методов решения уравнений, содержащих эти операторы. В результате удалось, в частности, улучшить, по сравнению с нелинейными сингулярными интегральными уравнениями, оценки скорости сходимости последовательных приближений.
8. Впервые без ограничений на параметры доказано, что решения нели­нейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала могут быть найдены приближенными методами градиентного типа не только в ^(а, Ь) (как в случае нелинейных сингулярных интегральных уравнений), но и в L_p(a,b), и даже в L_p(g) с общим (не обязательно степенным) весом д(х).
9. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых операто­ры свертки по оси R¹, полуоси [0, оо) и отрезку [а, Ь] являются положи­тельными, строго положительными и потенциальными в L_p.
10. Впервые методом монотонных операторов без ограничений на па­раметры доказаны теоремы о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных интегральных уравнений типа свертки. Из этих теорем следует, что по своим свойствам такие уравнения ближе к нелинейным уравнениям с ядрами типа потенци­ала, нежели к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям.
11. Методом весовых метрик в конусах пространства С[0,оо) изучены интегральные уравнения со степенной нелинейностью в случаях вырож­денных и невырожденных, монотонных и почти монотонных, разностных, суммарных и общего вида ядер. Впервые рассматриваются такие уравне­ния с почти монотонными (по С.Н. Бернштейну) ядрами и используются неравенства Чебышева. Получены точные нижние и верхние оценки реше­ний и на их основе без ограничений на область существования решения доказаны теоремы о приближенном решении таких уравнений. Показана необходимость как нижних, так и верхних априорных оценок в определе­нии классов решений для корректности вводимых метрик.
12. Доказана непрерывная зависимость решений уравнений типа сверт­ки со степенной нелинейностью относительно изменений ядер и правой ча­сти в терминах одной и той же, в отличие от других работ, метрики.
13. Впервые методом монотонных операторов исследованы конечные системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала и нелинейных инте­гральных уравнений типа свертки в пространствах вектор-функций Лебе­га. В случае систем уравнений типа свертки со степенной нелинейностью и почти возрастающими ядрами, рассматриваемых в конусах пространства непрерывных вектор-функций, показано, что решение является неубыва­ющим (а не почти возрастающим) и получены неулучшаемые априорные оценки решения. В отличие от предшествующих наших совместных работ [12] и [16] показано, что рост нелинейности не зависит от числа уравнений.
14. Впервые методом монотонных операторов изучены различные клас­сы нелинейных дискретных уравнений типа свертки как в вещественных, так и в комплексных пространствах £_р. Найдены необходимые и достаточные условия положительности дискретных операторов типа свертки. Такие условия возникают при решении задач статистической физики.
15. Получены оценки решений нелинейных (интегральных и дискрет­ных) неравенств, отличающиеся от известных (Willett-Wong, Pachpatte и др.), как по виду, так и по методу их доказательства. Приведены конкретные примеры ядер, нелинейностей и пространств, удовлетворяющих предъявляемым требованиям, и тем самым иллюстри­рующие все полученные в диссертации результаты.

2.Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений методом монотонных / С.Н. Асхабов // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Естеств. науки. - 1980. - N2. - С. 3-5.

3.Асхабов, С.Н. О применимости метода монотонных операторов к нели¬нейным сингулярным уравнениям в L2(—oo,oo) / С.Н. Асхабов // Докл. АН Азерб. ССР. - 1980. - Т. 36. - N7. - С. 28-31.

4.Асхабов, С.Н. Применение метода монотонных операторов к некото-рым нелинейным уравнениям типа свертки и сингулярным интегральным уравнениям / С.Н. Асхабов // Изв. ВУЗов. Матем. - 1981. - N9. - С. 64-66.

5.Асхабов, С.Н. Применение метода монотонных операторов к неко¬торым классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений и их системам в Lp,n(&#961;) / С.Н. Асхабов // Деп. в ВИНИТИ 12 февраля 1981, N684-81. - 28 с.

6.Асхабов, С.Н. Исследование некоторых нелинейных уравнений типа свертки и сингулярных интегральных уравнений методом монотонных опе-раторов / С.Н. Асхабов // Математический анализ и его приложения: Сб. науч. тр. - Грозный: Чеч.-Инг. ун-т, 1984. - С. 37-46.

7.Асхабов, С.Н. Исследование нелинейных сингулярных интегральных уравнений (НСИУ) с ядром Гильберта методом монотонных операторов / С.Н. Асхабов // Известия Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Естеств. науки. - 1986. - N3. - С. 33-36.

8.Асхабов, С.Н. Оценки решений некоторых нелинейных уравнений ти¬па свертки и сингулярных интегральных уравнений / С.Н. Асхабов, Х.Ш. Мухтаров // Докл. АН СССР. - 1986. - Т. 288. - N2. - С. 275-278.

9.Асхабов, С.Н. Об одном нелинейном уравнении типа свертки / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22. - N9. - С. 1606-1609.

10.Асхабов, С.Н. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений

типа свертки / С.Н. Асхабов, Х.Ш. Мухтаров // Дифференц. уравнения. -

1987. - Т. 23. - N9. - С. 512-514.

11.Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки со степенной

нелинейностью / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Докл.

АН СССР. - 1987. - Т. 296. - N3. - С. 521-524.

12.Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения Винера-Хопфа / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Якубов // Деп. в ВИНИТИ 25.11.88, N8341. - 144 с.

13.Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц // Дифференц. уравне¬ния. - 1989. - Т. 25. - N10. - С. 1777-1784.

14.Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов // Деп. в ВИНИТИ 04.12.89, N7198-В89. -75 с.

15.Askhabov, S.N. Nonlinear convolution type equations / S.N. Askhabov, M.A. Betilgiriev // Seminar Analysis Operat. Equat. Numer. Anal. 1989/90. Karl-Weierstras-Institut fur Mathematik. Berlin. - 1990. - P. 1-30.

16.Асхабов, С.Н. Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью и их системы / С.Н. Асхабов, Н.К. Карапетянц, А.Я. Яку¬бов // Докл. АН СССР. - 1990. - Т. 311. - N5. - С. 1035-1039.

17.Askhabov, S.N. Integral equations of convolution type with power nonli-nearity / S.N. Askhabov // Colloq. Math. - 1991. - V. 62. - N1. - P. 49-65.

18.Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки с почти возрастающими ядрами в конусах / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев // Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27. - N2. - С. 321-330.

19.Askhabov, S.N. A-priori estimates for the solution of a class of nonlinear convolution equations / S.N. Askhabov, M.A. Betilgiriev // Z. Anal. Anwend. - 1991. V. 10. - N2. - Р. 201-204.

20.Askhabov, S.N. Singular integral equations with monotone nonlinearity in complex Lebesgue spases / S.N. Askhabov // Z. Anal. Anwend. - 1992. -V. 11. - N1. - Р. 77-84.

21.Асхабов, С.Н. Дискретные уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью в комплексных пространствах / С.Н. Асхабов, Н.К. Кара-петянц // Доклады РАН. - 1992. - Т. 322. - N6. - С. 1015-1018.

22.Askhabov, S.N. Convolution type discrete equations with monotonous nonlinearity in complex spaces / S.N. Askhabov, N.K. Karapetian // J. Integral Equations Math. Phys. - 1992. - V. 1. - N1. - Р. 44-66.

23.Асхабов, С.Н. Априорные оценки решений нелинейного интеграль-ного уравнения типа свертки и их приложения / С.Н. Асхабов, М.А. Бети-лгириев // Математ. заметки. - 1993. - Т. 54. - N5. - С. 3-12.

24.Асхабов, С.Н. Интегральные уравнения типа свертки со степенной нелинейностью / С.Н. Асхабов, М.А. Бетилгириев. - Ростов-на-Дону: Из-дательский центр ДГТУ, 2001. - 154 с.

25.Асхабов, С.Н. Решение нелинейных интегральных уравнений с опе-раторами типа потенциала методом последовательных приближений / С.Н. Асхабов // Труды Физ. общ-ва респ. Адыгея. - 2002. - N7. - С. 43-48.

26.Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с разностными ядрами / С.Н. Асхабов // Там же. - 2003. - N8. - С. 22-39.

27.Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала в комплексных пространствах Лебега / С.Н. Асхабов // Там же. - 2004. - N9. - С. 25-30.

28.Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью / С.Н. Асхабов. - Майкоп: Май-копский государственный технологический университет, 2004. - 387 с.

29.Асхабов, С.Н. Неравенства Чебышева и их приложения к нелиней-ным дискретным уравнениям типа свертки / С.Н. Асхабов // II Междун. конф. «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современ-ным проблемам естествознания». - Обнинск, 2004. - С. 4-7.

30.Асхабов, С.Н. Нелокальные задачи для нелинейных интегральных уравнений с разностными ядрами / С.Н. Асхабов // Междун. конф. «Функ-циональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», по-священная столетию С.М.Никольского. - Москва, МИ РАН, 2005. - С. 35.

31.Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала на отрезке / С.Н. Асхабов // III Междун. конф. «Математи-ческие идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания». - Обнинск, 2006. - С. 4-7.

32.Askhabov, S.N. Nonlinear equations with integrals of fractional order in weighted Lebesgue spaces / S.N. Askhabov // Материалы междун. конф. «Дифференц. уравнения, теория функций и прил.», посв. 100-летию со дня рожд. акад. И.Н. Векуа. - Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007 г. С. 389-390.

33.Асхабов, С.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки на отрезке / С.Н. Асхабов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ест. науки. - 2007. -N1. - С. 3-5.

34.Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения с интегралами дробного по-рядка / С.Н. Асхабов // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2007. - Т. 9. - N1. - C. 9-14.

35.Askhabov, S.N. Nonlinear equations with Riemann-Liouville operators of fractional integration on segment / S.N. Askhabov // IV Междун. конф. «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания». - Обнинск, 2008. - С. 8-9.

36.Асхабов, С.Н. Сингулярные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью в весовых пространствах Лебега /С.Н. Асхабов // Мате-риалы междун. конф. «Дифференциальные уравнения и топология», по-священной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. М.: ВМиК МГУ, 2008. С. 91-92.

37.Асхабов, С.Н. Нелинейные уравнения типа свертки / С.Н. Асхабов. -М.: Физматлит, 2009. - 304 с.