Построена теория универсальных локальных формул для рациональных классов Понтрягина комбинаторных многообразий. Доказано, что для любого однородного полинома от рациональных классов Понтрягина существует такая универсальная локальная форму-Здесь г] - гомоморфизмы, индуцированные изоморфизмом щ = Z, D и ^spl - операторы двойственности Пуанкаре в когомологиях и кобордизмах соответственно, ch и chspL-характеры Чженя-Дольда в теориях ориентированных кусочно линейных бордизмов и кобордизмов соответственно. В оставшейся части главы 5 исследуется задача о нахождении класса Л4п ориентированных замкнутых многообразий, достаточного для реализации с некоторой кратностью любого n-мерного класса гомологии любого топологического пространства. В центре нашей конструкции находится многообразие Мп изоспектральных вещественных симметрических трёх-диагональных (п + 1) х (п + 1)-матриц, то есть многообразие вещественных симметрических трёхдиагональных матриц с фиксированным простым спектром Ai > А2 > ... > An+i. (Матрица А = (а^) называется трёхдиаго-нальной, если а^ = 0 при г - j > 1.) Теорема 9. Пусть X - произвольное топологическое пространство и z Е Нп(Х; Z); тогда существуют конечнолистное накрытиеМп над многообразием Мп и непрерывное отображение if : Мп ->■ X такие, что (/?* [Мп] = qz для некоторого положительного целого числа q. Следствие 10. Любое замкнутое ориентированное n-мерное многообразие доминируется некоторым конечнолистным накрытием над многообразием Мп; таким образом, любое замкнутое ориентированное п-мерное многообразие виртуально доминируется многообразием Мп. Теорема 9 получается практически сразу из нашей явной конструкции разрешения особенностей псевдомногообразия, склеенного из простых клеток: дело в том, что в случае, когда исходное псевдомногообразие Z является симплициальным, наша конструкция автоматически даёт многообразие, являющееся конечнолистным накрытием над многообразием Мп. Разделы 5.5-5.7 содержат необходимую информацию о многообразии Мп и его конечнолистных накрытиях. В разделах 5.8-5.10 конструкция разрешения особенностей симплициального псевдомногообразия Z излагается на другом языке, более удобном для доказательства того, что построенное многообразие является конечнолистным накрытием над многообразием Мп. Переизложение на другом языке заключается по сути в том, что мы вместо кубически клеточного разбиения N строим двойственное ему клеточное разбиение, которое является разбиением на специальные простые многогранники - так называемые пермутоэдры. Пермутоэдр Пп есть выпуклая оболочка (п + 1)! точек пространства Rn , полученных из точки (1,2,...,п + 1) при помощи всевозможных перестановок её координат; это n-мерный простой многогранник с 2п+ -2 гипергранями. Искомое разбиение на пермутоэдры имеет вид МП(ПП, Г) для подходящего однородного графа Г степени 2n+1 - 2. Разбиение многообразия Мп на 2П пермутоэдров было построено К. Томен . Из нашей конструкции следует, что построенное разбиение МП(ПП,Г) является накрытием над разбиением Томеи многообразия Мп.
[2] Гайфуллин А. А., Локальные формулы для комбинаторных классов Понтрягина, Известия РАН, сер. матем., т. 68 (2004), №5, с. 13-66.
[3] Гайфуллин А. А., Вычисление характеристических классов многооб-разия по его триангуляции, УМЫ, т. 64 (2005), №4, с. 37-66.
[4] Бухштабер В.М., Гайфуллин А. А., Представления т-значных групп на триангуляциях многообразий, УМН, т. 61 (2006), №3, с. 171-172.
[5] Гайфуллин А. А., Явное построение многообразий, реализующих за-данные классы гомологии, УМН, т. 62 (2007), №6, с. 167-168.
[6] Гайфуллин А. А., Реализация циклов асферичными многообразиями, УМН, т. 63 (2008), №3, с. 173-174.
[7] Гайфуллин А. А., Многообразие из о спектральных симметрических трехдиагоналъных матриц и реализация циклов асферичными мно-гообразиями, Тр. МИАН, т. 263 (2008), с. 44-63.
[8] Гайфуллин А. А., Построение комбинаторных многообразий с задан-ными наборами линков вершин, Известия РАН, сер. матем., т. 72 (2008), №5, с. 3-62.
[9] Гайфуллин А. А., Минимальная триангуляция комплексной проек-тивной плоскости, допускающая шахматную раскраску четырехмер-ных симплексов, Тр. МИАН, т. 266 (2009), с. 33-53.
[10] Гайфуллин А. А., Пространства конфигураций, бизвёздные преобра-зования и комбинаторные формулы для первого класса Понтрягина, Тр. МИАН, т. 268 (2010), с. 76-93.