- В работе впервые проведен систематический анализ частично инвариантных решений для нелинейной системы уравнений идеальной магнитогидродинамики.
- Обнаружено свойство иерархии на множестве частично инвариантных подмоделей произвольной системы уравнений.
- Построена иерархия частично инвариантных подмоделей для уравнений магнитной гидродинамики.
- Выявлены три основных вида подмоделей: вихрь Овсянникова и его обобщения, решения с линейным по части переменных полем скорости и решения с полным давлением, зависящим только от времени. Впервые дан геометрический алгоритм использования функционального произвола в решениях типа вихря Овсянникова.
- Исследованы подмодели вихря Овсянникова (автомодельная, стационарная, с линейным полем скорости и другие).
- Доказана невозможность обобщения вихря Овсянникова на решения с произвольными поверхностями уровня.
- Дан геометрический алгоритм построения безвихревых векторных полей, частично инвариантных относительно группы вращений и доказано, что в вихре Овсянникова ротор скорости не равен нулю.
- Предложен оригинальный геометрический подход, дающий исчерпывающее описание стационарных течений идеальной несжимаемой плазмы с постоянным полным давлением.
- В диссертации впервые найдены базисы дифференциальных инвариантов и операторы инвариантного дифференцирования для бесконечномерных групп Ли, допускаемых уравнениями Навье - Стокса и Эйлера, стационарной газовой динамики, уравнения Кармана - Гудерлея. Для ряда перечисленных моделей впервые построены групповые расслоения относительно допускаемых бесконечномерных групп.
- Впервые систематически описан важный класс инвариантных решений для уравнения Кармана - Гудерлея для пространственных околозвуковых течений газа, обнаружены режимы течения с ударной волной в виде винтовой поверхности. Построены и описаны точные решения с линейным по части переменных полем скорости для уравнений газовой динамики.
2. ГОЛОВИН С .В. Групповое расслоение и точные решения урав¬нения трансзвукового движения газа // ПМТФ, 2003. Т. 44, т. С. 51-63.´
3. GOLOVIN S.V. Irrotational barochronous gas motions // Nonlinear Dynamics, 2004. V. 36. No. 1. Pp. 19-28.
4. ГОЛОВИН С.В. Нестационарное движение газа в полосе // ПМТФ, 2004. Т. 45, №2. С. 90-98.
5. GOLOVIN S.V. Applications of the differential invariants of infinite dimensional groups in hydrodynamics // Comm. in Nonlin. Sci. and Num. Simul., 2004. V. 9, No. 1. Pp. 35-51.
6. GOLOVIN S.V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotationally symmetrical case / / Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics / Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2004. V. 50, No 1. Pp. 110-117.
7. GOLOVIN S.V. Singular vortex in magnetohydrodynamics //J. Phys. A: Math. Gen., 2005. V. 38, No. 20. Pp. 4501-4516.
8. GOLOVIN S.V. Invariant solutions of the singular vortex in magnetohydrodynamics //J. Phys. A: Math. Gen., 2005. V. 38, No. 37. Pp. 8169-8184.
9. GOLOVIN S.V. Generalization of the one-dimensional ideal plasma flow with spherical waves //J. Phys. A: Math. Gen., 2006. V. 39. Pp. 7579-7595.
[10] GOLOVIN S.V. Partially invariant solutions to ideal magnetohydrodynamics / / IMA Volumes in Mathematics and its Applications. V. 144: Symmetries and Overdetermined Systems of Partial Differential Equations. Springer, New York 2007, Pp. 367-382.
[11] Головин С.В. Плоский вихрь Овсянникова. Уравнения под¬модели // ПМТФ, 2008. Т. 49, Ш. С. 27 II).
[12] Головин С.В. Плоский вихрь Овсянникова. Свойства описы¬ваемого движения и точные решения // ПМТФ, 2008. Т. 49, Ж. С. •>-) ПК.
[13] Головин С.В. Безвихревые векторные поля, частично инва¬риантные относительно группы вращений // ПММ, 2008. Т. 72, № 6. С. 731- 711)
[14] GOLOVIN S.V. On the hierarchy of partially invariant submodels II J. Phys. A: Math. Theor., 2008. V. 41, 265501.
[15] Головин С.В. Регулярные частично инвариантные решения дефекта 1 уравнений идеальной магнитогидродинамики / / ПМТФ, 2009. Т. 50, № 2. С. 5-15.