- Предложен вариационный метод решения линейных уравнений в сепа-рабельных гильбертовых пространствах, устойчивый к неравномерным возмущениям оператора, характерным для конечномерных аппроксимаций некомпактных линейных отображений.
- Разработан конечношаговый алгоритм, позволяющий решать с контролируемой точностью внутреннюю для вариационного метода задачу минимизации выпуклого квадратичного функционала на шаре методом итераций по множителю Лагранжа.
- Для волнового уравнения и уравнения колебаний балки с переменными коэффициентами получен ряд новых конструктивных неравенств наблюдаемости. Эти неравенства содержат априорную информацию, необходимую для численного решения двойственных задач управления и наблюдения для таких уравнений с помощью предложенного в работе вариационного метода.
- Для рассмотренных в работе двойственных задач граничного и зонного управления и наблюдения, описываемых уравнениями колебаний струны и балки, построены подчиняющиеся всем требованиям вариационного метода конечномерные аппроксимации, сохраняющие отношение двойственности, а также описаны процедуры численного решения этих задач вариационным методом, вырабатывающие сильно сходящиеся приближения.
2.Потапов М.М. О методе прямых в задачах граничного Нейман-управления и Дирихле-наблюдения для волнового уравнения // Тез. докл. весенней Воронежской математической школы ((Понтрягинские чтения - V)). Воронеж: Изд-во ВГУ, 1994. С. 118.
3.Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин А.В. Проекционная схема метода пря¬мых в задачах зонного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 1994, № 3. С. 29-35.
4.Васильев Ф.П., Потапов М.М. Аппроксимация некоторых двойственных задач управления-наблюдения для волнового уравнения // Тез. докл. всероссийской конфе¬ренции ((Алгоритмический и численный анализ некорректных задач)). Екатеринбург: Изд-во УpГУ, 1995. С. 35.
5.Потапов М.М. Об аппроксимации второй и третьей краевых задач пространственно-локализованного управления и наблюдения для уравнения колебаний // Тез. докл. конференции (( Обратные и некорректно поставленные задачи)) . М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. С. 38.
6.Потапов М.М. Метод пpямых в задачах ^аничного упpавления и наблюдения для гипеpболического уpавнения с паевыми условиями втоpого и тpетьего pода // Вестн. Моск. ун-та.15, Вычисл. матем. и кибеpн. 1996. № 2. С. 35-41.
7.Potapov M.M. Stable variational method for linear equations with nonuniform perturbations in operator // Abstracts of International Conference ((Inverse and Ill-Posed Problems)). Moscow: Dialog-MSU, 1996. P. 144.
8.Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений с поточечно возму¬щенным оператором // Тез. докл. всероссийской науч. конфер. << Алгоритмический анализ некорректных задач)). Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1998. С. 204-205.
9.Потапов М.М. О сильной сходимости разностных аппроксимаций задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения // ЖВМиМФ. 1998. Т. 38. № 3.
С. 387-397.
10.Лаврухин А.В., Потапов М.М. Об аппроксимации нормального псевдорешения при отсутствии информации об уровнях погрешностей // Тез. докл. конфер. «Обратные и некорректно поставленные задачи)). М.: Изд-во <<Диалог-МГУ)), 1998. С. 47.
11.Васильев Ф.П., Потапов М.М. Взаимодвойственные задачи управления и наблюде¬ния в линейных системах, их аппроксимация и регуляризация // Тез. докл. между¬народной конфер., посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина. Опти¬мальное управление. М.: Изд-во МГУ, 1998. С. 221-223.
12.Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно воз¬мущенным оператором // Доклады РАН. 1999. T. 365. № 5. С. 596-598.
13.Потапов М.М., Костикова О.Р. Конечномерная аппроксимация двойственных за¬дач управления и наблюдения для уравнения колебаний 4-го порядка // Тез. докл. шестой конфер. «Обратные и некорректно поставленные задачи)). М.: Изд-во ООО <<МАКС Пресс)), 2000. С. 62.
14.Потапов М.М., Костикова О.Р. Разностная аппроксимация задач управления и наблюдения для уравнения колебаний четвертого порядка // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 2003. № 1. С. 33-37.
15.Потапов М.М. Приближенное решение задач граничного управления и наблюдения для уравнения поперечных колебаний стержня // ЖВМ и МФ. 2005. Т. 45. № 6.
С. 1015-1032.
16.Потапов М.М. Аппроксимация задачи Дирихле-управления и двойственной задачи с нерегулярными Нейман-наблюдениями для волнового уравнения // Доклады РАН.
2006. Т. 408. № 5. С. 596-600.
17.Potapov M.M. Stable Approximation of Dual Control and Observation Problems // International Conference << Tikhonov and Contemporary Mathematics^, Mocsow, June 19-25 2006. Abstracts of session {(Inverse and Ill-Posed Problems)). Moscow: Lomonosov MSU, Comput. Math. and Cybern., 2006. P. 153.
18.Потапов М.М. Приближенное решение задач Дирихле-управления для волнового уравнения в классах Соболева и двойственных к ним задач наблюдения // ЖВМ и
МФ. 2006. Т. 46. № 12. С. 2191-2208.
19.Потапов М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений задачи Неймана для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Доклады РАН. 2007. Т. 412. № 6.
С. 747-752.
20.Потапов М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Доклады РАН. 2007. Т. 414.
№ 6. С. 738-742.
21.Потапов М.М. Об уточнении порогового момента в задачах с двусторонними управ¬лениями и наблюдениями для волнового уравнения // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. № 1. С. 151-157.
22.Потапов М.М. Разностная аппроксимация задач Дирихле-наблюдения слабых реше¬ний волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода // ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. № 8. С. 1323-1339.
23.Потапов М.М. Приближенное решение двойственных задач управления и наблю¬дения для волнового уравнения // Тезисы докладов международной конферен¬ции << Дифференциальные уравнения и смежные вопросы)) , посвященной памяти И.Г.Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара И.Г.Петровского, Москва, 21-26 мая 2007 г.): Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2007. - 384 с. С. 250¬251.
24.Потапов М.М. Приближенное решение двойственных задач зонного управления и наблюдения для волнового уравнения //В кн. «Современные методы теории краевых задач»: материалы Воронежской весенней математической школы <<Понтрягинские чтения-XIX)). Воронеж: Изд-во ВГУ, 2008. С. 171-173.
25.Васильев Ф.П., Потапов М.М. Приближенное решение задач управления и наблю¬дения для волнового уравнения //В кн. «Дифференциальные уравнения и то¬пология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина: Тезисы докладов)). - М.: МАКС Пресс, 2008. С. 326-327.
26.Потапов М.М. Двойственные задачи зонного управления и наблюдения для волно¬вого уравнения //В кн. << Дифференциальные уравнения и топология: Международ¬ная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина: Тезисы докладов)). - М.: МАКС Пресс, 2008. С. 389.
27.Potapov M.M. Stable approximation to zone control and observation problems for the wave equation //В кн. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.К.Иванова, Екатеринбург, 1-6 сент. 2008 г.». - Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2008. - 324 с. С. 251.
28.Потапов М.М. Устойчивая аппроксимация оптимальных Дирихле-управлений для волнового уравнения //В кн. «Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего)). - М.: Изд-во «Университетская книга)), 2009. - 416 с. С. 192.