Научная тема: «НЕКОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ И ЛОРЕНЦЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ ГРУППАМИ ГОЛОНОМИИ»
Специальность: 01.01.04
Год: 2009
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Предложен метод, позволяющий строить метрики с группами го­лономии Spin(7) и G2 по произвольному семимерному 3-сасакиеву многообразию. При помощи данного метода построены новые пол­ные римановы метрики с группой голономии Spin(7) на некомпакт­ных гладких многообразиях (в том числе однопараметрические се­мейства таких метрик), и с группами голономии Spin(7) и G2 на некомпактных орбифолдах.
  2. В явном виде найдены Риччи-плоские римановы метрики с груп­пой голономии SU(22) на кокасательных расслоениях к взвешенным комплексным проективным прямым, обобщающие метрику Эгучи - Хансона. При помощи построенных метрик получено описание пространства модулей метрик с группой голономии SU(2) на K3-поверхности в окрестности предельной плоской метрики на T 4/Z3.
  3. Доказано, что на каждом односвязном компактном четырехмер­ном Т2-многообразии существует риманова метрика положитель­ной кривизны Риччи, инвариантная относительно данного действия T2.
  4. Для каждой группы голономии лоренцева пространства (за ис­ключением тех, ортогональная часть которых содержит в качестве прямого слагаемого группу изотропии кэлерова симметрического пространства ранга большего один) доказано существование гло­бально гиперболического лоренцева многообразия с данной груп­пой голономии.
Список опубликованных работ
[l] Алексеевский Д. В. Римановы многообразия с необычными группами голономии // Функциональный анализ и его прило¬жения. 1968. Т. 2, № 2. С. 1-10.

[2] Бееее А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

[3] Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985.

[4] Гриффите Ф., Харрие Дж. Принципы алгебраической геомет¬рии. М.: Мир, 1982. Т. 1,2.

[5] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геомет¬рии. М.: Наука, 1981. Т. 1,2.

[6] Baum Н., Muller О. Codazzi Spinors and Globally hyperbolic Lorentzian manifolds with special holonomy I // Preprint ESI 1757, 2005.

[7] Berger M. Sur les groupes d´holonomie des varietes a connexion affine et des varietes Riemanniennes // Bull. Soc. Math. France. 1955. V. 83. P. 279-330.

[8] Berard-Bergery L., Ikemakhen A. On the holonomy of Lorentzian manifolds // In: Differential Geometry: Geometry in Mathematical Physics and Related Topics., Proc. Sympos. Pure Math. 1993. V. 54. P. 27-40.

[9] Воуег С. P., Galicki К., Mann В. M. The geometry and topology of 3-Sasakian manifolds //J. Reine angrew. Math. 1994. V. 455. P. 183-220.

[11] Brown R., Gray A. Riemannian manifolds with holonomy group Spin(9) // In: S. Kobayashi et al., editors, Differential Geometry (in honour of Kentaro Yano), Kinokuniya, Tokiyo, 1972. P. 41-59.

[12] Bryant R. Metrics with exceptional holonomy // Ann. of Math. (2). 1987. V. 126, N 3. P. 525-576.

[13] Bryant R. Classical, exceptional and exotic holonomies: a status report // Actes de la Table Ronde de Geometrie Differentielle en l´Honneur de Marcel Berger . Collection SMF Seminaires and congres 1 (Soc. math, de France), 1996, P. 3-166.

[14] Bryant R. L., Salamon S. L. On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy // Duke Math. J. 1989. V. 58, N 3. P. 829-850.

[15] Calabi E. Metriques kahleriennes et fibres holomorphes // Ann. Ecol. Norm. Sup. 1979. V. 12. P. 269-294.

[16] Cartan E. Sur les varietes a connexion afline et la theorie de la relativite generalisee. I & II // Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. 1923. V. 40. P. 325-412 et 1924. V. 41. P. 1-25 ou Oeuvres completes, tome III, P. 659-746 et P. 799-824.

[17] Cartan E. La geometrie des espaces de Riemann // Memorial des Sciences Mathematiques. Paris: Gauthier-Villars, 1925. V. 5.

[18] Cartan E. Sur une classe remarquable d´espaces de Riemann // Bull. Soc. Math. France. 1926. V. 54. P. 214-264, 1927. V. 55. P. 114-134 ou Oeuvres completes, tome I, V. 2. P. 587-659.

[19] Cartan E. Les groupes d´holonomie des espaces generalises // Acta Math. 1926. V. 48. P. 1-42 ou Oeuvres completes. Tome III. V. 2. P. 997-1038.

[20] Cortes V. Alekseevskian spaces // Diflf. Geom. Appl. 1996. V. 6. P. 129-168.

[21] Eguchi Т., Hanson A. J. Asymptotically flat self-dual solutions to euclidean gravity // Physics Letters B. 1978. V. 74, N 4. P. 49-251.

[22] Galaev A. Metrics that realize all types of Lorentzian holonomy algebras // arXiv:mathDG/0502575, 2005.

[23] Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope C. N. New Complete Non-compact Spin(7) Manifolds // Nucl. Phys. B. 2002. V. 620, N 1-2. P. 29-54.

[24] Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope C. N. New Cohomogeneity One Metrics With Spin(7) Holonomy //J. Geom. Phys. 2004. V. 49, N 3-4. P. 350-365.

[25] Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope C. N. Cohomogeneity One Spin(7) G(2) V. 65, N 10. 29 p.

[26] Gukov S., Sparks J. M-Theory on Spin(7) Manifolds // Nucl. Phys. B. 2002. V. 625, N 1-2. P. 3-69.

[27] Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik, in neuen Zusammenhangen dargestellt. 1895. — Русский перевод: Герц Г. Р. Принципы меха¬ники, изложенные в новой связи. М.: Изд. АН СССР, 1959.

and II // J. Differentional Geometry. 1996. V. 43, N 2. P. 291-328. P. 329-375.

[28] Joyce D. D. Compact 8-manifolds with holonomy Spin(7) J J Inv. Math. 1996. V. 123. P. 507-552.

[29] Joyce D. Compact manifolds with special holonomy. Oxford Science Publications, 2000. Spin(7) SU(3)/U(1) // J. Geom. Phys. 2002. V. 43, N 4. P. 293-309. Spin(7) SU(3)/U(1)

[30] Kovalev A. Twisted connected sums and special Riemannian holon¬omy //J. Reine Angew. Math. 2003. V. 565. P. 125-160.

[31] Leistner Т. On the classification of Lorentzian holonomy groups // Jour. Diff. Geom. (to appear).

[32] Page D. N. A physical picture of the K3 gravitational instanton // Physics Letters B. 1978. V. 80, N 1-2. P. 55-57.

[33] de Rham G. Sur la reductibilite d´un espace de Riemann // Comm. Math. Helv. 1952. V. 26. P. 328-344.

[34] Schwachhofer L. J. Holonomy. Review, 2008.

[35] Wu H. On the de Rham decomposition theorem // Illinois. J. Math. 1964. V. 8. P. 291-311.

[36] Yau S.-T. On the Ricci curvature of a compact Kahler manifold and the complex Monge-Ampere equations //I. Communications on pure and applied mathematics. 1978. V. 31. P. 339-411.

Работы автора по теме диссертации.

[37] Базайкин Я. В. О некоторых метриках нулевой кривизны Риччи кооднородности два на комплексных линейных расслоениях // Сибирский математический журнал. 2004. Т. 45, № 3. С. 497¬504.

[38] Базайкин Я. В. Специальные кэлеровы метрики на линейных бирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6. С. 1235-1247.

[39] Базайкин Я. В. О новых примерах полных некомпактных мет¬рик с группой голономии Spin(7) // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 1. С. 11-32.

[40] Базайкин Я. В., Малькович Е. Г. Метрики с группой голономии G2, связанные с 3-сасакиевым многообразием // Сибирский ма¬тематический журнал. 2008. Т. 49, № 1. С. 3-7.

[41] Базайкин Я. В. Некомпактные римановы пространства с груп¬пой голономии Spin(7) и 3-сасакиевы многообразия // Геомет¬рия, топология и математическая физика. I, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Нови¬кова, Труды МИАН. 2008. Т. 263. С. 6-17.

[42] Базайкин Я. В. Глобально гиперболические лоренцевы про¬странства со специальными группами голономии // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50, № 4. С. 721-736.