- Проведено полное исследование банаховых алгебр, порожденных каноническими многомерными интегральными операторами с однородными ядрами (в том числе парными операторами), а также C*-алгебры, порожденной операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига. Для всех этих алгебр построено символическое исчисление, в терминах которого получены необходимые и достаточные условия нетеровости и (или) обратимости операторов и формулы для вычисления индекса нетеровых операторов.
- Для многомерных интегральных операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами найдены весьма слабые условия на коэффициент, обеспечивающие компактность таких операторов. Получены необходимые и достаточные условия нетеровости (а в некоторых случаях и обратимости) операторов с однородными ядрами и радиальными осциллирующими в нуле и на бесконечности коэффициентами. Исследованы банаховы алгебры, порожденные такими операторами.
- Разработана теория проекционных методов для канонических интегральных операторов с однородными ядрами, включая парные операторы. Кроме того, исследовано предельное поведение спектров, £-псевдоспектров и сингулярных значений усеченных интегральных операторов.
- Изучена C*-алгебра, порожденная многомерными интегральными операторами с биоднородными ядрами: для нее построено операторнознач-ное символическое исчисление, в терминах которого получен критерий нетеровости операторов, и установлена топологическая формула для вычисления индекса. Найден критерий применимости проекционного метода к интегральным операторам с биоднородными ядрами, и описано предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов.
- Получен критерий нетеровости многомерных интегральных операторов с квазиоднородными ядрами, и дана формула для подсчета их индекса. Установлены необходимые и достаточные условия обратимости и нетеро-вости интегральных операторов с ядрами, имеющими различный характер однородности по разным группам переменных.
[2] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н.К. Об алгебре многомерных инте-гральных операторов с однородными ядрами с переменными коэф-фициентами // Изв. вузов. Математика. 2001. № 1. С. 3-10.
[3] Авсянкин О. Г. О применении проекционного метода к парным инте-гральным операторам с однородными ядрами // Изв. вузов. Мате¬матика. 2002. № 8. С. 3-7.
[4] Авсянкин О. Г. Об алгебре парных интегральных операторов с одно-родными ядрами // Мат. заметки. 2003. Т. 73, вып. 4. С. 483-493.
[5] Авсянкин О. Г., Деундяк В. М. О вычислении индекса многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами // Докл. РАН. 2003.Т. 391, №1. С. 7-9.
[6] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н.К. Псевдоспектры многомерных ин-тегральных операторов с однородными ядрами // Докл. РАН. 2003. Т.392, №1. С. 7-9.
[7] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. О псевдоспектрах многомерных ин-тегральных операторов с однородными степени —n ядрами // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 6. С. 1199-1216.
[8] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Проекционный метод в теории ин-тегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки. 2004. Т.75, вып. 2. С. 163-172.
[9] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н.К. Интегральные операторы с одно-родными ядрами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2004.Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. С. 17-24.
[10] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н.К. Интегральные операторы с одно-родными ядрами на плоскости // Труды Института математики НАН Беларуси. Минск. 2004. Т. 12. №1. С. 5-12.
[11] Авсянкин О. Г. Об алгебре, порожденной многомерными интеграль¬ными операторами Вольтерра с однородными степени (—n) ядра¬ми // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2005. Спец¬выпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. С. 21-25.
[12] Авсянкин О. Г., Деундяк В.М. Об индексе многомерных интеграль¬ных операторов с биоднородными ядрами и переменными коэффи¬циентами // Изв. вузов. Математика. 2005. № 3. С. 3-12.
[13] Авсянкин О. Г. Проекционный метод для матричных многомерных парных интегральных операторов с однородными ядрами // Влади-кавказский мат. журн. 2006. Т. 8, вып. 1. С. 3-10.
[14] Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с биоднород-ными ядрами: проекционный метод и псевдоспектры // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, №3. С. 501-513.
[15] Авсянкин О. Г. О сингулярных значениях усеченных многомерных интегральных операторов с однородными степени (—n) ядрами // Труды 4-й международной конференции, посвященной 100-летию Ф. Д. Гахова. Минск, 2006. В трех томах. Т. 2. С. 12-16.
[16] Авсянкин О. Г. О нетеровости многомерных интегральных операто¬ров с однородными и квазиоднородными ядрами // Изв. вузов. Ма¬тематика. 2006. № 11. С. 3-10.
[17] Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с ядрами, имеющими смешанный характер однородности // Изв. вузов. Мате¬матика. 2007. № 8. С. 66-69.
[18] Авсянкин О. Г., Деундяк В.М. Об алгебре многомерных интеграль¬ных операторов с однородными SO (^-инвариантными ядрами и ра-диально слабо осциллирующими коэффициентами // Мат. заметки. 2007. Т. 82, №2. С. 163-176.
[19] Авсянкин О. Г. О многомерных интегральных операторах с однород¬ными ядрами и осциллирующими радиальными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2007. Т.43, №9. С. 1193-1196.
[20] Авсянкин О. Г. О C*-алгебре, порожденной многомерными инте-гральными операторами с однородными ядрами и операторами муль-типликативного сдвига // Докл. РАН. 2008. Т. 419, №6. С. 727-728.
[21] Авсянкин О. Г. О спектрах и сингулярных значениях многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 3. С. 490-496.
[22] Авсянкин О. Г. О C*-алгебре, порожденной многомерными инте-гральными операторами с однородными ядрами и коэффициентами вида xia // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2008. №5. С. 10-14.