Сергеев Александр Николаевич

Научная тема: «ИНВАРИАНТЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ СУПЕРАЛГЕБР ЛИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К КВАНТОВЫМ ИНТЕГРИРУЕМЫМ СИСТЕМАМ»

Специальность: 01.01.01

Год: 2009

Отрасль науки: Физико-математические науки

Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:

1. Построен аналог классической теории инвариантов для классичес­ких неисключительных супералгебр Ли. Дано описание минимального множества образующих алгебр инвариантов и соотношений между ними.
2. Разработано обобщение классической теории базисов Гельфанда -Цетлина на случай цепочки конечномерных полупростых Z2 градуиро­ванных алгебр. В качесстве приложения, на основе метода Вершика-Окунькова, строится теория проективных представлений симметричес­ких групп. Построены аналоги симметризаторов Юнга для проективных представлений симметрических групп.
3. Проведена централизаторная конструкция Янгиана для суперал­гебр Ли серии q.
4. Дана интерпретация деформированных квантовых интегрируемых систем Калоджеро-Мозера-Сазерленда как радиальных частей операто­ров Лапласа на некоторых симметрических суперпространствах.
5. Дана интерпретация проективных функций Шура как сферических функций на определенных симметрических суперпространствах.
6. Описаны кольца Гротендика категории конечномерных представле­ний классических супералгебр Ли. Показано, что описание может быть задано в терминах инвариантов некоторого конечного группоида, кото­рый естественно считать аналогом группы Вейля в случае полупростых конечномерных алгебр Ли.
7. Предложена общая теория деформированных квантовых интегриру­емых систем Калоджеро-Мозера-Сазерленда на основе понятия обобщен­ной системы корней. В случае классических серий приводится доказа­тельство их интегрируемости.
8. Построены бесконечномерные аналоги систем Калоджеро-Мозера типа A. Показано, что деформированные системы типа A(n, m) могут быть получены как ограничения соответствующих бесконечномерных.

Список опубликованных работ

[1] Сергеев А.Н. Аналог классической теории инвариантов для супералгебр Ли. Функцион. анализ и его приложения, т.26 (1992), в. 3, 88-90.

[2] Сергеев А.Н. Векторные и ковекторные инварианты супералгебр Ли. Функцион. анализ и его приложения, т.30 (1996), в. 3, 90-93.

[3] Sergeev A. The invariant polynomials on simple Lie superalgebras. Represent. Theory 3 (1999), 250-280 (electronic).

[4] Sergeev A. The Howe duality and the projective representations of symmetric groups. Represent. Theory 3 (1999), 416-434 (electronic).

[5] Sergeev A. Irreducible representations of solvable Lie superalgebras. Represent. The¬ory 3 (1999), 435-443.

[6] Sergeev A. An analog of the classical invariant theory for Lie superalgebras. I. Michi-gan Math. J. 49 (2001), no. 1, 113-146.

[7] Sergeev A. An analog of the classical invariant theory for Lie superalgebras. II. Michi-gan Math. J. 49 (2001), no. 1, 147-168.

[8] Sergeev A. Superanalogs of the Calogero operators and Jack polynomials. J. Nonlinear Math. Phys. 8 (2001), no. 1, 59-64.

[9] Сергеев А.Н., Оператор Калоджеро и супералгебры Ли. Теоретичекая и математическая физика, т.131 (2002), no. 3, 355-376.

[10] Sergeev A. Projective Schur functions as bispherical functions on certain homogeneous superspaces. The orbit method in geometry and physics (Marseille, 2000), 421-443, Progr. Math., 213, Birkhauser Boston, Boston, MA, 2003.

[11] Sergeev A.N., Veselov A.P. Deformed quantum Calogero-Moser problems and Lie superalgebras. Comm. Math. Phys. 245 (2004), no. 2, 249-278.

[12] Sergeev A.N.,Veselov, A.P. Generalised discriminants, deformed Calogero-Moser-Sutherland operators and super-Jack polynomials. Adv. Math. 192 (2005), no. 2, 341-375.

[13] Nazarov M., Sergeev A. Centralizer construction of the Yangian of the queer Lie superalgebra. Studies in Lie theory, 417-441, Progr. Math., 243, Birkhauser Boston, Boston, MA, 2006.

[14] Sergeev A.N., Veselov A.P. Grothendieck rings of basic classical Lie superalgebras. Loughborough University preprint 07-35. arXive: 0704.2250.

[15] Sergeev A.N., Veselov A.P. Deformed Macdonald-Ruijsernaars operator and su¬per Macdonald polynomials. Loughborough University preprint 07-36. (принято к публикации в Communication in Mathematical Physics).

[16] Vershik A.M., Sergeev A.N. A new approach to the representation theory of the sym-metric groups. IV. Z2-graded groups and algebras. Moscow Mathematical Journal, v.8 (2008), no. 4, 1-30.