- Построены асимптотические приближения решений для следующих новых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач: Начальные задачи с нелинейными интегральными операторами типа Воль-терра и Фредгольма, том числе в случае смены устойчивости корня вырожденного уравнения. Краевые задачи для обыкновенных интегродифференциальных уравнений с пограничными и внутренними слоями (контрастными структурами типа ступеньки). Краевые задачи для эллиптических интегродифференциальных уравнений с пограничными и внутренними слоями (двумерными контрастными структурами типа ступеньки). - Начально-краевые задачи для параболических интегродифференциальных уравнений с пограничными и движущимися внутренними слоями (фронтами).
- С использованием асимптотического метода дифференциальных неравенств, развитого для указанных выше классов задач, доказаны теоремы существования, обоснованы асимптотические решения, доказана устойчивость этих решений и определена локальная области влияния устойчивых решений, имеющих пограничные и внутренние слои.
2.Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингуляр¬ных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
3.Васильева А. Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с ма¬лым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифферен¬циальные уравнения. 1972. Т. 8. N 9. С. 1560-1568.
4.Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Математические заметки. 1987. Т. 42. N 6. С. 831-841.
5.Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингу¬лярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.
6.Файф П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических крае¬вых задач с малым параметром // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29. N 4. С. 103¬131.
7.Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов Н.Н. Контрастные структуры в син¬гулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математи-ка.1998. Т.4. N 3. С. 799-851.
8.Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Диф¬ференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132-1139.
9.Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингу¬лярно возмущенных задач в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 4. С. 719-722.
10.Васильева А. Б. Об устойчивости контрастных структур // Математическое моделирование. 1991. Т. 3. N 4. С. 114-123.
11.Бутузов В. Ф. О неустойчивости контрастных структур типа всплеска // Математические модели и методы в социальных науках. (Труды вторых математических чтений МГСУ 26 января -- 2 февраля 1994). М.: МГСУ. 1994. С. 14-18.
12.Angenent S., Mallet-Paret J., Peletier L. Stable transition layers in a semilinear boundary value problems // J. Diff. Equations. 1987. V. 67. N 2. P. 212-242.
13.Hale J. K., Sakamoto K. Existence and stability of transition layers// Japan J. of Appl. Math. 1988. V. 5. N 3. P. 367-405.
14. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями в двумерном случае // Известия РАН (серия математическая). 2002. Т. 66. N 1. C. 3-42.
15.Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О формировании контрастной структуры типа ступеньки в параболической системе с разными степенями малого парамет¬ра // Доклады РАН. 2003. Т. 390. N 1. С. 15-18.
16. Raquepas J., Dockery J. Dynamics of a reaction-diffusion equation with nonlocal inhibition // Physica D. 1999. V. 134. P. 94-110.
17.Novick-Cohen A. The Cahn-Hilliard equation: Mathematical and Modelling Per¬spectives // Advances in Math. Sci. and Appl. 1998. V. 8, 965-985.
18.Rubinstein J., Sternberg P. Nonlocal reaction-diffusion equations and nucleation // IMA J. Appl. Math. 1992. V. 48. P. 249-264.
19.Okada K., Intermediate dynamics of internal layers for a nonlocal reactiondiffusion equation // Hiroshima Math. J. 2005. V. 35. P. 263-308.
20.Bates, P., Zhao, G. Existence, uniqueness and stability of the stationary solution to a nonlocal evolution equation arising in population dispersal // J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 332. N 1, P. 428-440.
21.Bates, P., Chen, F. Spectral analysis of traveling waves for nonlocal evolution equations // SIAM J. Math. Anal. 2006. V. 38. N. 1. P. 116-126.
22.Kot M., Lewis M., Driessche P. Dispersal data and the spread of invading organ¬isms // Ecology. 1996. V. 77. N 7. P. 2027-2042.
23.Medlock J., Kot M., Spreading disease: Integro-differential equations old and new // Mathematical Biosciences. 2003. V. 184. N 2. P. 201-222.
24.Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed boundary value problems in case of exchange of stabilities // J. Math. Analys. and Appl.
1999. V. 229. P. 543-562.
25.Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
26.Fife P., Hsiao L. Generation and Propagation of Internal Layers // Nonlinear Anal. 1988. V. 12. N 1. P. 19-41.
27.Perko L. Differential Equations and Dynamical Systems. New York: Springer,
2001.
28.Amann H. Periodic Solutions of Semilinear Parabolic Equations, Nonlinear Analysis: a Collection of Papers in Honor of Erich Rothe. New York: Academic, 1978, pp. 1-29.
29.Sattinger D. Monotone Methods in Elliptic and Parabolic Boundary Value Prob¬lems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. N 11. P. 979-1001.
30.Fife P., Tang M. Comparision Principles for Reaction-Diffusion systems: Irregu¬lar Comparision Functions and Applications to Question of Stability and Speed Propagation of Disturbances // J. Diff. Equations. 1981. V. 40, P. 168-185.
31. Михайлов А.П. Моделирование системы "власть -общество". М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
32.Никитин А.Г Неустойчивость контрастных пространственных структур типа " всплеска" в системе реакции-диффузии // Журнал вычислительной матема¬тики и математической физики. 1992. Т. 31, N 3. C. 443-452.
33.Васильева А.Б., Никитин А.Г., Петров А.П. Асимптотический метод иссле¬дования контрастных структур и его приложения к теории гидромагнитного динамо // Математическое моделирование, т. 7, 1995, № 2, с. 61 - 71.
34.Vasil´eva, A. Nikitin and A. Petrov Stability of contrasting solutions of nonlinear hydromagnetic dynamo equations and magnetic fields reversals in galaxies // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics, v. 78, 1995, pp. 261 - 279.
35.Васильева А.Б., Никитин А.Г. К вопросу об устойчивости периодических контрастных структур в пространственно двумерном случае // Дифференци¬альные уравнения, 1996. Т. 32. № 10. С. 1355-1361.
36.Никитин А.Г. О главной собственной функции одной сингулярно возму-щенной задачи Штурма-Лиувилля // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1999, т. 39, № 4, с. 558-591.
37.Никитин А.Г., Петров А.П. О предельном переходе по малому параметру для собственных значений сингулярно возмущенной задачи Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, №6, с. 843-845
38.Нефедов Н.Н., Никитин А.Г. Асимптотический метод дифференциальных неравенств для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных урав¬нений // Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, № 10, с. 1398-1404.
39.Н.Н. Нефедов, А.Г. Никитин Развитие асимптотического метода дифферен¬циальных неравенств для решений типа ступеньки в сингулярно возмущен¬ных интегро-дифференциальных уравнениях // Журнал вычислительной ма¬тематики и математической физики, 2001, т. 41, № 7, с. 1057 -1066.
40. Н.Н. Нефедов, А.Г. Никитин, Асимптотическая устойчивость контрастных структур типа ступеньки в сингулярно возмущённых интегро-дифференциальных уравнениях в двумерном случае //Математическое. мо¬делирование, 2001,т. 13, № 12, с. 65-74.
41.A.G.Nikitin Contrast structures in the integro-differential equations // Progress of nonlinear science. Proceeding of international conference dedicated to the 100th Anniversary of A.A Andronov Vol. I. Mathematical Problems of Nonlinear Dy-namics,University of Nizhny Novgorod, 2002, 323-326
42.Нефедов Н.Н., Никитин А.Г. Сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные уравнения в случае сбалансированной нелинейности // Труды второй международной конференции "Нелинейные дифференциаль¬ные уравнения в частных производных» (Алушта, 2005), В сб.: Нелиней¬ные граничные задачи, Институт прикладной математики НАН Украины
2006, с. 186-192.
43.Нефедов Н.Н., Никитин А.Г., Уразгильдина Т.А. Задача Коши для интегро-дифференциального уравнения Вольтерра. Журнал вычислительной матема¬тики и математической физики, 2006, т. 46, №5, с. 805-812.
44.Нефедов Н.Н., Никитин А.Г. Метод дифференциальных неравенств для кон¬трастных структур типа ступеньки в сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнениях в пространственно двумерном случае. Диф¬ференциальные уравнения , 2006, т. 42, №5, с. 690-700.
45.Нефедов Н.Н., Никитин А.Г. Задача Коши для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма. Журнал вычислительной математики и математиче¬ской физики, 2007, т. 47, №4, с. 655-664.
46.Nefedov N.N., Nikitin A.G., Recke L. Moving Internal Layers in the Singular Perturbed Integro-Parabolic Reaction-Diffusion-Advection Equations. Preprint Nr. 2007-22. Humboldt University of Berlin, Institute of Mathematic, pp. 1-17.