- Для широкого класса квантовых матричных алгебр, параметризуемых Д-матрицами GL{mn) типа, найдены матричные тождества, обобщающие известные тождества Гамильтона-Кэли матричной алгебры. Коэффициенты тождества представляют собой квантовые функции Шура, правило их перемножения совпадает с классическим правилом Литтлвуда-Ричардсона.
- Найдены серии билинейных тождеств на симметрические функции Шура. С помощью этих тождеств получена факторизация полинома Гамильтона-Кэли, что позволило инвариантным образом ввести понятия четных и нечетных собственных значений квантовой матрицы. Найдена параметризация центра квантовой матричной алгебры в терминах спектральных значений.
- Построена квазитензорная категория конечномерных представлений специального класса квантовых матричных алгебр - алгебр уравнения отражений. Найдено правило перемножения конечномерных модулей на основе твистованного коумножения в алгебре. Вычислен спектр операторов Казимира в конечномерных модулях, параметризуемых одностолбцовыми и однострочными диаграммами Юнга.
- Введено понятие квантового многообразия (пространства с некоммутативными координатами) - квантованной орбиты коприсоеди-ненного действия группы Ли GL{n) на пространстве gl*(n) - дуальном алгебре Ли gl(n). Алгебра функций на таком многообразии задается в виде фактора алгебры уравнения отражений по идеалу, порожденному полиномиальными соотношениями на центральные элементы.
- Введены понятия касательных векторов и инвариантных дифференциальных операторов, действующих на функции на многообразии. Важным примером такого оператора является оператор Лапласа. Построена алгебра некоммутативных частных производных, найдено модифицированное правило Лейбница, позволяющее вычислять действие этих производных на некоммутативных функциях.
- В качестве приложения математических конструкций некоммутативной геометрии рассмотрены модели атома водорода в некоммутативном пространстве и свободные полевые уравнения Клейна-Гордона и Дирака. Для атома водорода вычислены поправки в спектр и волновую функцию, происходящие от некоммутативности пространства, для свободных полевых уравнений найдены решения в виде аналогов плоских волн.
2.D. Gurevich, P. Saponov, Quantum line bundles on a noncommutative sphere Journal of Physics A: Math. Gen. 35 (2002) 9629-9643.
3.Д. Гуревич, П. Сапонов, Неодномерные представления алгебры уравнения отражений, Теоретическая и математическая физика, том 139 (2004) 45-61.
4.P. Saponov, The Weyl approach to the representation theory of reflection equation algebra, Journal of Physics A: Math. Gen. 37 (2004) 5021-5046.
5.Д.И. Гуревич, П.Н. Пятов, П.А. Сапонов, Теорема Гамильтона-Кэли для квантовых матричных алгебр GL{m
) типа. Алгебра и Анализ, том 17 (2005) 157-179.
6.Д.И. Гуревич, П.Н. Пятов, П.А. Сапонов, Квантовые матричные алгебры GL{m
) типа II: структура характеристической подалгебры и ее спектральная параметризация, Теоретическая и Математическая Физика, том 147 (2006) 14-46.
7.D. Gurevich, P. Saponov, Geometry of поп-commutative orbits related to Hecke symmetries, Contemporary Mathematics, 433 (2007) 209-250.
8.D.I. Gurevich, P.N. Pyatov, P.A. Saponov,Representation theory of (modified) reflection equation algebra of GL(mjn) type, Алгебра и Анализ, том 20 (2008) 70-133.
9.Д. Гуревич, П. Пятов, П. Сапонов, Спектральная параметризация для степенных сумм квантовых суперматриц, Теоретическая и математическая физика, том 159 (2009) 206-218.
10.D. Gurevich, P. Saponov, Braided affine geometry and q-analogs of wave operators, Journal of Physics A: Math, and Theor., 42 (2009) 313001.
11.D. Gurevich, P. Pyatov, P. Saponov, Bilinear identities on Schur symmetric functions, Journal of Nonlinear Mathematical Physics 17, Supplementary Issue 1 (2010) 31-48.
12.D.I. Gurevich, P.A. Saponov, Generic super-orbits in gl{m
)* and their braided counterparts, Journal of Geometry and Physics 60 (2010) 1411-1423.
13.D. Gurevich, P. Pyatov, P. Saponov, Braided Differential Operators on Quantum Algebra, Journal of Geometry and Physics 61 (2011) 1485-1501.
14.D. Gurevich, P.Saponov, Braided algebras and their applications to Noncommutative Geometry, Advances in Applied Mathematics 51 (2013) 228-253.