- В рамках канонического оператора Маслова предложен и разработан метод построения новых интегральных представлений быстроосциллиру-ющих функций в окрестности каустик и фокальных точек на основе специального класса систем координат на лагранжевых многообразиях (эйконал-координаты). Полученное этим методом представление существенно упрощает локальный вид решения в окрестности каустик и эффективно при построении широкого класса асимптотических решений линейных гиперболических уравнений и систем с переменными коэффициентами (в частности, решений вида волновых пучков и решений задач с локализованными начальными данными или правыми частями).
- Доказано, что в задачах о распространении волн с локализованными начальными данными локализованную в окрестности точки начальную функцию можно представить с помощью канонического оператора на инвариантном относительно гамильтониана задачи лагранжевом многообразии, представляющем собой объединение траекторий соответствующей системы Гамильтона, выпущенных из косферы на этой точкой, что позволяет существенно упростить формулы для асимптотических решений и сделать их эффективными в компьютерной реализации.
- Предложен и разработан метод построения асимптотик решений многомерного волнового уравнения, вырождающегося на границе области. Этот метод основан на новом фазовом пространстве, отвечающем таким уравнениям, которое получается как расширение стандартного фазового пространства и на обобщении канонического оператора Маслова на лагранжевы подмногообразия такого фазового пространства, и приводит, в частности, к новым простым формулам для максимальной амплитуды в точках границы области решения задачи Коши для такого волнового уравнения с локализованными начальными данными специального вида.
- Для задаваемого квантованным каноническим преобразованием (интегральным оператором Фурье-Маслова) невырожденного эндоморфизма эллиптического комплекса на гладком компактном многообразии в том случае, когда у классического канонического преобразования имеются гладкие многообразия неподвижных точек и эти многообразия либо симплектические, либо лагранжевы, получены асимптотические формулы, выражающие вклад таких многообразий в число Лефшеца эндоморфизма.
- Доказаны формулы индекса для удовлетворяющих некоторым условиям симметрии квантованных контактных (однородных канонических) преобразований на компактном многообразии с коническими особенностями, выражающие индекс в виде полусуммы индекса квантованного контактного преобразования на гладком компактном многообразии - дубле исходного многообразия с вырезанными окрестностями конических точек - и явно выписываемого инварианта конормального символа. Инвариант конормального символа выражен через кратности его особых точек в комплексной плоскости.
- Получены асимптотические формулы для энтропии и числа состояний газа Бозе-Маслова, и н этой основе построено термодинамическое лагран-жево многообразие, на котором определен отвечающий газу Бозе-Маслова туннельный канонический оператор.
2.Доброхотов С. Ю., Назайкинский В. Е., Тироцци Б. Асимптотические решения двумерного модельного волнового уравнения с вырождающейся скоростью и локализованными начальными данными // Алгебра и анализ. — 2010. — Т. 22. — Вып. 6. — С. 67-90.
3.Назайкинский В. Е. Асимптотические решения вырождающегося волнового уравнения с локализованными начальными данными, отвечающие различным самосопряженным расширениям // Матем. заметки. — 2011. — Т. 89. — Вып. 5. — С. 797-800.
4. Назайкинский В. Е. Геометрия фазового пространства для волнового уравнения, вырождающегося на границе области // Матем. заметки. — 2012. — Т. 92. — Вып. 1. — С. 153-156.
5. Назайкинский В. Е. Об энтропии газа Бозе—Маслова // Докл. РАН. — 2013. — Vol. 448. — No. 3. — P. 266—268.
6. Назайкинский В. Е. Канонический оператор Маслова на лагранжевых многообразиях в фазовом пространстве, соответствующем вырождающемуся на границе волновому уравнению // Матем. заметки. — 2014. — Т. 96. — Вып. 2. — С. 261–276.
7. Назайкинский В. Е. О представлениях локализованных функций в R2 каноническим оператором Маслова // Матем. заметки. — 2014. — Т. 96. — Вып. 1. — С. 87–99.
8. Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю. О принципе локальности индекса в эллиптической теории // Функц. анализ и его прил. — 2001. — Т. 35. — Вып. 2. — С. 37–52.
9. Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шульце Б.-В. Индекс квантованных контактных преобразований на многообразиях с коническими особенно стями // Докл. РАН. — 1999. — Т. 368. — Вып. 5. — С. 598–600.
10.Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шульце Б.-В. Индекс интегральных операторов Фурье на многообразиях с изолированными особенностями // Изв. РАН. Сер. матем. — 2001. — Т. 65. — Вып. 2. — С. 127–154.
11.Dobrokhotov S. Yu., Nazaikinskii V. E., Lozhnikov D. A. Wave trains associated with a cascade of bifurcations of space-time caustics over elongated underwater banks // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. — 2013. — Vol. 8. — No. 05. — P. 1–12.
12. Dobrokhotov S. Yu., Nazaikinskii V. E., Tirozzi B. Asymptotic solution of the one-dimensional wave equation with localized initial data and with de generating velocity: I // Russ. J. Math. Phys. — 2010. — Vol. 17. — No. 4. — P. 434–447.
13.Dobrokhotov S. Yu., Nazaikinskii V. E., Tirozzi B. Asymptotic solutions of 2D wave equations with variable velocity and localized right-hand side // Russ. J. Math. Phys. — 2010. — Vol. 17. — No. 1. — P. 66–76.
14.Dobrokhotov S. Yu., Nazaikinskii V. E., Tirozzi B. Two-dimensional wave equation with degeneration on the curvilinear boundary of the domain and asymptotic solutions with localized initial data // Russ. J. Math. Phys. — 2013. — Vol. 20. — No. 4. — P. 389–401.
15.Nazaikinskii V. E. Semiclassical Lefschetz formulas on smooth and singular manifolds // Russ. J. Math. Phys. — 1999. — Vol. 6. — No. 2. — P. 202–213.
16.Nazaikinskii V. E. On the asymptotics of the number of states for the Bose-Maslov gas // Mathematical Notes. — 2012. — Vol. 91. — No. 5—6. — P. 816—-823.
17. Nazaikinskii V. E. Maslov’s canonical operator for degenerate hyperbolic equa tions // Russ. J. Math. Phys. — 2014. — Vol. 21. — No. 2. — P. 289–290.