Научная тема: «СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОЛИЭДРОВ КЛЕЙНА И ЛОКАЛЬНЫХ МИНИМУМОВ РЕШЕТОК»
Специальность: 01.01.06
Год: 2014
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Доказаны правильные, с точностью до констант, зависящих от размерности, верхние оценки для максимального количества относительных минимумов целочисленных неполных решеток и максимального количества относительных минимумов неполных (нецелочисленных) решеток, лежащих в заданном кубе. Также получены двусторонние оценки для среднего количества вершин полиэдров Клейна целочисленных многомерных решеток фиксированного определителя.
  2. Впервые изучено поведение в среднем количества локальных минимумов многомерных целочисленных решеток. А именно получена асимптотическая формула для среднего числа локальных минимумов целочисленных многомерных решеток с определителем из заданного отрезка. Также доказано многомерное обобщение классической теоремы Хейльбронна о средней длине конечной непрерывной дроби в терминах относительных минимумов.
  3. Получены асимптотические формулы для среднего числа граней фиксированного типа и вершин полиэдров Клейна трехмерных целочисленных решеток фиксированного определителя.
  4. Выведены асимптотические формулы для среднего числа наилучших приближений линейных форм с рациональными коэффициентами и математического ожидания количества наилучших приближений форм с вещественными коэффициентами.
Список опубликованных работ
1. А. А. Илларионов, “Оценка количества относительных минимумов неполных целочисленных решеток произвольного ранга”, ДАН, 418:2 (2008), 155–158.

2. А. А. Илларионов, Д. А. Слинкин, “О количестве вершин многогранников Клейна целочисленных решеток в среднем”, Дальневост. матем. журн., 11:1 (2011), 48–55.

3. А. А. Илларионов, Ю. А. Сойка, “О количестве относительных минимумов целочисленных решеток”, Дальневост. ма-тем. журн., 11:2 (2011), 149–154.

4. А. А. Илларионов, “О цилиндрических минимумах трехмерных решеток”, Дальневост. матем. журн., 11:1 (2011), 37– 47.

5. А. А. Илларионов, “Оценки количества относительных минимумов решеток”, Матем. заметки, 89:2 (2011), 249–259.

6. А. А. Илларионов, “Среднее количество относительных минимумов трехмерных целочисленных решеток”, Алгебра и анализ, 23:3 (2011), 189–215.

7. А. А. Илларионов, “О статистических свойствах локальных минимумов целочисленных решеток”, Дальневост. матем. журн., 12:2 (2012), 201–230.

8. А. А. Илларионов, “О цилиндрических минимумах целочисленных решеток”, Алгебра и анализ, 24:2 (2012), 154–170.

9. А. А. Илларионов, “Среднее количество относительных минимумов трехмерных целочисленных решеток фиксированного определителя”, Изв. РАН. Сер. матем., 76:3 (2012), 111–138.

10. А. А. Илларионов, “О статистических свойствах многогранников Клейна трехмерных целочисленных решеток”, Матем. сб., 204:6 (2013), 23–46.

11. А. А. Илларионов, “Многомерное обобщение теоремы Хейль-бронна о средней длине конечной непрерывной дроби”, Ма-тем. сб., 205:3 (2014), 119–132.

12. А. А. Илларионов, “О среднем количестве наилучших приближений линейных форм”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:2 (2014), 61–86

13. А. А. Илларионов, “Оценка количества относительных минимумов неполных целочисленных решеток”, Чебышевский сб., 7:4 (2006), 92–98.

14. А. А. Илларионов, “Оценки количества относительных минимумов решеток”. В сб. «Наука - Хабаровскому краю. Материалы X краевого конкурса молодых ученых», Хабаровск, Изд-во Тихо-океан. гос. ун-та, 2008, 65–75.

15. А. А. Илларионов, “Статистические свойства многомерных аналогов непрерывных дробей”. В сб. «Наука - Хабаровскому краю. Материалы XII краевого конкурса молодых ученых», Хабаровск, Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010, 5–15.

16. A. A. Illarionov, “On the Asymptotic Distribution of Integer Matrices”, Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory, 1:4 (2011), 301–345.