Научная тема: «ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО И ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ГЁЛЬДЕРА»
Специальность: 01.01.02
Год: 2014
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Поставлена и изучена обратная задача определения источника для общего линейного равномерно эллиптического уравнения в области специального вида (удовлетворяющей условию (А)), с переопределением внутри области. Для этой задачи доказана справедливость альтернативы Фредгольма в различных пространствах Гёльдера.
  2. При некоторых дополнительных предположениях о структуре равномерно эллиптического оператора, области рассмотрения обратной задачи и заданных функциях, для обратной задачи с переопределением внутри области получены различные достаточные условия единственности решения этой обратной задачи. Полученные достаточные условия носят  как глобальный так и локальный характер (локальность по одной из осей координат и т.д.) и, сформулированы для различных предположений о гладкости коэффициентов уравнения и границы области.
  3. На основе доказанной альтернативы Фредгольма и полученных достаточных условиях единственности решения получен ряд теорем, дающих достаточные условия однозначной разрешимости обратной задачи определения правой части равномерно эллиптического уравнения с переопределением внутри области. При выполнении этих достаточных условий получены оценки устойчивости к малым изменениям входных данных для исследуемых обратных задач в различных пространствах Гёльдера.
  4. На основе результатов, полученных для обратных задач с переопределением внутри области, проведено рассмотрение обратной задачи определения источника в равномерно эллиптическом уравнении с переопределением на границе области. Для этой задачи также доказана справедливость альтернативы Фредгольма, указаны различные достаточные условия единственности ее решения и, как следствие справедливости альтернативы Фредгольма, получен ряд теорем, гарантирующих существование единственного решения обратной задачи и его устойчивость к малым изменениям входных данных в различных функциональных пространствах .
  5. Рассмотрена обратная задача определения коэффициента в равномерно эллиптическом уравнении с переопределением внутри области. Для этой задачи получены глобальные условия единственности ее решения для различных типов областей и в различных пространствах Гёльдера. Для случая цилиндра доказаны достаточные условия существования решения этой задачи и условия ее однозначной разрешимости.
  6. Изучена обратная задача определения коэффициента в равномерно эллиптическом уравнении с переопределением на границе. Для случая цилиндра получены глобальные достаточные условия существования единственного решения этой обратной задачи.
  7. Рассмотрена обратная задача определения источника для равномерно параболического уравнения общего вида в цилиндре с переопределением на верхней крышке (финальным переопределением). Для этой обратной задачи доказана справедливость альтернативы Фредгольма в пространствах Гёльдера.
  8. При различных дополнительных предположениях о коэффициентах равномерно параболического уравнения получены различные достаточные условия единственности решения обратной задачи определения правой части этого уравнения. Полученные условия являются как глобальными (ограничения на знаки заданных функций и их производных), так и локальными (малость области по одной из осей координат и т.д.).
  9. На основе полученных достаточных условий единственности решения обратной задачи определения правой части равномерно параболического уравнения и доказанной ранее альтернативы Фредгольма для этой задачи получены различные достаточные условия однозначной разрешимости этой обратной задачи в пространствах Гёльдера.
  10. Рассмотрена обратная задача определения коэффициента в равномерно параболическом уравнении с финальным переопределением. Для этой задачи получены различные достаточные условия единственности ее решения. При некоторых дополнительных ограничениях доказана теорема существования и единственности решения указанной обратной задачи.
  11. Для задачи определения коэффициента в равномерно параболическом квазилинейном уравнении в цилиндре с финальным переопределением получены различные достаточные условия существования решения.
  12. Рассмотрена обратная задача определения источника для равномерно параболического уравнения с переопределением в фиксированных пространственных точках. Доказана единственность решения этой обратной задачи для случая нелинейного параболического уравнения самого общего вида. В линейном и квазилинейном случаях для этой задачи доказана однозначная разрешимость. Рассмотрены случаи задачи Коши и краевых задач для нелинейного параболического уравнения.
Список опубликованных работ
1. Соловьев В.В. Обратная задача определения коэффициента для эллиптический уравнений в цилиндре. II // Дифференциальные уравнения, 2013. Т. 49. №12. С. 1607–1615.

2. Соловьев В.В. Обратная задача определения коэффициента для эллиптический уравнений в цилиндре. I // Дифференциальные уравнения, 2013. Т. 49. № 8. С. 1026–1035.

3. Соловьев В.В. Об обратных задачах для параболического уравнения с переопределением в фиксированных точках // Вестник МГОУ, сер. Физика, математика, 2012. № 3. С. 6–11.

4. Соловьев В.В. Разрешимость обратных задач для эллиптических уравнений в цилиндре // Вестник МГОУ, сер. Физика, математика, 2012. № 1. С. 27–38.

5. Соловьев В.В. О разрешимости обратных коэффициентных задач для параболических уравнений // Вестник МГОУ, сер. Физика, математика, 2012. № 1. С. 23–27.

6. Соловьев В.В. Обратная задача определения коэффициента в уравнении Пуассона в цилиндре // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2011. Т. 51. № 10. С. 1–8.

7. Соловьев В.В. Обратные задачи для эллиптических уравнений в пространстве. II // Дифференциальные уравнения, 2011. Т. 47. № 5. С. 714–723.

8. Соловьев В.В. Обратные задачи для эллиптических уравнений в пространстве. I // Дифференциальные уравнения, 2011. Т. 47. № 4. С. 499–506.

9. Соловьев В.В. Обратные задачи определения источника и коэффициента в эллиптическом уравнении в прямоугольнике // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007. Т. 47. № 4. С. 499–506.

10. Соловьев В.В. Обратные задачи для эллиптических уравнений на плоскости. II // Дифференциальные уравнения, 2007. Т. 43. № 1. С. 101–109.

11. Соловьев В.В. Обратные задачи для эллиптических уравнений на плоскости. I // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. № 8. С. 1106–1114.

12. Соловьев В.В. Обратные задачи определения источника для уравнения Пуассона на плоскости // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2004. Т. 44. № 5. С. 862–871.

13. Соловьев В.В. Существование решения в «целом» обратной задачи определения источника в квазилинейном уравнении параболического типа // Дифференциальные уравнения, 1996. Т. 39. № 4. С. 546–544.

14. Соловьев В.В. Определение источника и коэффициентов в параболическом многомерном случае // Дифференциальные уравнения, 1995. Т. 31. № 6. С.1060–1069.

15. Соловьев В.В. О существовании решения в задаче определения коэффициента в полулинейном уравнении параболического типа // Дифференциальные уравнения, 1992. Т.28. № 12. С. 2101–2110.

16. Соловьев В.В. Существование и единственность решения обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке // В кн.: Теоретико-функциональные и численные методы исследования прямых и обратных задач математической физики. М.: Энергоатомиздат, 1992. С. 141–148.

17. Соловьев В.В. Об управлении коэффициентами в полулинейном уравнении параболического типа // В кн.: Управление нелинейными системами: Сборник трудов. М.: ВНИИСИ, 1994. № 4. С. 36–40.

18. Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения в случае третьей нечетно-краевой задачи // В кн.: Обратные задачи для математических моделей физических процессов. М.: МИФИ, 1991. С. 75–79.

19. Соловьев В.В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения // Дифференциальные уравнения, 1989. Т.25. №9. С. 1577–1583.

20. Соловьев В.В. Фредгольмовость одной обратной задачи определения правой части в параболическом уравнении // В кн.: Анализ математических моделей физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1988. С. 90–95.

21. Прилепко А.И., Соловьев В.В. О разрешимости обратных задач определения коэффициента перед младшей производной в параметрическом уравнении // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23. № 1. С. 136–145.

22. Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа. I // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23. № 10. С. 1791–1800.

23. Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа. II // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23. № 11. С. 1971–1980.