Научная тема: «О КЛАССАХ ВОЗМУЩЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНО НЕУСТОЙЧИВЫХ ОПЕРАТОРОВ»
Специальность: 01.01.01
Год: 2014
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Разработан новый метод, который позволяет впервые в ситуации, когда не работает теорема Келдыша, получить для различных типов дифференциальных операторов полное описание классов возмущений, сохраняющих определенное спектральное свойство Ра. Этот метод с одинаковым успехом применим как к регулярным, так н к сингулярным дифференциальным операторам, спектр которых может быть как чисто дискретным, так и содержать непрерывную часть. Метод полезен и в задачах, связанных с локализацией спектра дифференциальных операторов в квазиклассическом пределе.
  2. Получено необходимое и достаточное условие на матрицу-потенциал Q, при котором спектр оператора Дирака D1 на бесконечности т-локализован (в смысле (9)).
  3. Дано полное описание класса возмущений V комплексного ангармонического осциллятора Hq, сохраняющих асимптотику спектра.
  4. Для оператора Lg доказана необходимость известных достаточных условий Х.Х. Муртазина существования мероморфного продолжения функции Вей-ля на некоторый угол из нефизического листа.
  5. Доказана необходимость (в существенной части) достаточных условий А.А. Шкаликова, при которых бесконечная компонента предельного спектрального графа оператора L£ состоит из одной кривой. Кроме того, в самосопряженном случае найдено необходимое и достаточное условие экспоненциально малого расщепления спектра.
Список опубликованных работ
1.Ишкин X. К. Асимптотика спектра и регуляризованный след сингулярных дифференциальных операторов высшего порядка// Дифф. уравнения. Т. 31, № 10. 1995. С. 480-490.

2.Ишкин X. К., Муртазин Х.Х. О квантовом дефекте оператора Дирака с неаналитическим потенциалом // ТМФ. Т. 125, № 3. 2000. С. 444-452.

3.Ишкин X. К. Критерий расщепления спектра // Мат. заметки. Т.72, № 5. 2002. С. 670-681.

4.Ишкин X. К. О необходимых условиях локализации спектра задачи Штурма - Лиувилля на кривой // Мат. Заметки. Т.78, № 1. 2005. С. 72-84.

5.Ишкин X. К., О критерии однозначности решений уравнения Штурма -Лиувилля II Мат. заметки. Т. 84, № 4. 2008. С. 552-566.

6.Ишкин X. К. О критерии локализации собственных чисел спектрально неустойчивого оператора // Докл. РАН. Т. 429, № 3. 2009. С. 301-304.

7.Ишкин X. К. О спектральной неустойчивости оператора Штурма-Лиувилля с комплексным потенциалом // Дифф. уравнения. Т. 45. № 4. 2009. С. 480-495.

8.Ишкин X. К. Об условиях локализации предельного спектра модельного оператора, связанного с уравнением Орра - Зоммерфельда // Докл. РАН. Т. 445, № 5. 2012. С. 506-509.

9.Ишкин X. К. Об аналитических свойствах функции Вейля оператора Штурма - Лиувилля с комплексным убывающим потенциалом // Уфимский матем. журнал. Т. 5, № 1. 2013. С. 36-55.

10.Ишкин X. К., О критерии безмонодромности уравнения Штурма-Лиувилля II Мат. заметки. Т.94, № 4. 2013. С. 552-568.

11.Ишкин X. К. О локализации спектра задачи с комплексным весом // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 5. С. 49-64.

12.Ishkin Kh. К. On continuity of the spectrum of a singular quasi-differential operator with respect to a parameter 11 Eurasian Math. J. V. 2, № 3. 2011. P. 67-81.