- Развита теория метрик на поверхностях, экстремальных для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами, и предложен практический подход к нахождению на торах и бутылках Клейна экстремальных метрик.
- Данный подход изложен на примере теоремы об экстремальных спектральных свойствах метрик на тау-поверхностях Лоусона.
- В качестве примера приложимости предлагаемого подхода к неявно заданным поверхностям доказана теорема об экстремальных спектральных свойствах метрик на торах Оцуки.
- Доказана градиентность потока Вольтерра с нулевыми граничными условиями.
- С помощью градиентности потока Вольтерра вычислены эйлеровы характеристики изоспектральных многообразий якобиевых матриц с нулевой диагональю, являющихся подмногообразиями уровня интегралов системы Вольтерра. Отметим, что мы не предполагаем положительность внедиаго-нальных элементов в определении якобиевых матриц.
- Определены преобразования Лапласа двумерных полудискретных гиперболических операторов Шредингера, изучены их основные свойства и описана их связь с полудискретной двумерной цепочкой Тоды.
- Построена алгебро-геометрическая спектральная теория двумерных полудискретных гиперболических операторов Шредингера, решена и прямая, и обратная спектральная задача.
- Преобразования Лапласа алгебро-геометрических двумерных полудискретных операторов Шредингера описаны в терминах преобразования алгебро-геометрических спектральных данных.
- С помощью алгебро-геометрических спектральных данных построены канонически сопряженные переменные для квадратичной и кубической скобки Пуассона, относительно которых система Вольтерра с периодическими граничными условиями гамильтонова.
- Построена теория алгебро-геометрических скобок Пуассона для системы Вольтерра.
- С помощью алгебро-геометрических спектральных данных построены канонически сопряженные переменные для двух скобок Пуассона, относительно которых периодическое уравнение Камассы-Холма гамильтоново.
2. Penskoi A. V., The Volterra lattice as a gradient flow, Regul. Chaotic Dyn., v. 3 (1998), №1, p. 76—77.
3. Penskoi A. V., Canonically conjugate variables for the periodic Camassa-Holm equation, Nonlinearity, V. 18 (2005), №1, p. 415-–421.
4. Penskoi A. V., Extremal spectral properties of Lawson tau-surfaces and the Lame equation, Moscow Math. J., v. 12 (2012), №1, p. 173-192.
5. Penskoi A. V., Extremal spectral properties of Otsuki tori, Math. Nachr. v. 286 (2013), №4, p. 379-391.
6. Веселов А. П., Пенской А. В., Алгебро-геометрические скобки Пуассона для дифференциальных операторов и система Вольтерра, Доклады Акад. Наук, т. 366 (1999), №3, с. 299-303.
7. Пенской А. В., Канонически сопряженные переменные для системы Вольтерра с периодическими граничными условиями, Матем. заметки, т. 64 (1998), №1, с. 115-128.
8. Пенской А. В., Система Вольтерра и топология изоспектрального многообразия якобиевых матриц с нулевой диагональю, УМЫ, т. 62 (2007), №3, с. 213—214.
9. Пенской А. В., Интегрируемые системы и топология изоспектральных многообразий, ТМФ, т. 155 (2008), №1, с. 140—146.