Научная тема: «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ УПАКОВОК СФЕР И СМЕЖНЫЕ ПРОБЛЕМЫ»
Специальность: 01.01.04
Год: 2013
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Доказано, что ��(4) = 24.
  2. Получено новое доказательство равенства ��(3) = 12. Это доказательство аналогично предыдущему, хотя технически намного проще.
  3. Для доказательства неравенства ��(4) < 25 был разработан метод неприводимых  множеств. Классификация этих множеств для числа точек �� 6 6 позволило оценить частичные суммы ���� (��) и тем самым доказать неравенство.
  4. Доказано, что ��(4) = 18. Технически, это доказательство оказалось сложнее чем доказательство 1. В доказательстве используется комбинация метода Дельсарта, ОМД и элементов теории сферических кодов в сферических шапочках. (Более подробно эта теория рассмотрена в работе [5].)
  5. Доказана следующая теорема: Пусть �� - это множество с двумя расстояниями �� и ��, расположенное на единичной сфере в R��, причем сумма этих (угловых) расстояний не превосходит ��, т.е. �� + �� 6 ��. Тогда количество точек в �� не превосходит ��(�� + 1)/2.
  6. Доказано, что ��(��) - мощность максимального сферического множества с двумя расстояниями в R��, где 6 < �� < 22 и 23 < �� < 40, равна ��(�� + 1)/2. Доказательство основано на комбинации предыдущей теоремы, теоремы Лармана-Роджерса-Зейделя и метода Дельсарта.
  7. Получены новые оценки на мощность сферических множеств с тремя расстояниями. В частности, доказано что мощность максимального сферического множества с тремя расстояниями в R8 равна 120, а в размерности  22, т. е. на сфере S21, его мощность равна 2025.
Список опубликованных работ
1. Мусин О. Р. Проблема двадцати пяти сфер, УМН, т. 58 (2003), № 4, с. 153–154.

2. Musin O.R., An extension of Delsarte’s method. The kissing problem in three and four dimensions, The Proceedings of COE Workshop on Sphere Packings, Kyushi University Press, p. 1–25, 2005.

3. Musin O.R., The kissing problem in three dimensions, Discrete Comput. Geom., v. 35 (2006), p. 375–384.

4. Musin O.R., The one-sided kissing number in four dimensions, Periodica Math. Hungar., v. 53 (2006), p. 209–225.

5. Barg A., Musin O.R., Codes in spherical caps, Advances in Math. of Communications, v. 1 (2007), p. 131–149.

6. Musin O.R., The kissing number in four dimensions, Annals of Math., v. 168 (2008), no. 1, p. 1–32

7. Musin O.R., Bounds for codes by semidefnite programming, Тр. МИАН, т. 263 (2008), с. 143–158.

8. Musin O.R., Spherical two-distance sets, J. Comb. Theory, Ser. A, v. 116 (2009), p. 988–995.

9. Musin O.R., Positive defnite functions in distance geometry, European Congress of Mathematics, Amsterdam, 14-18 July, 2008, p. 115–134, EMS Publ., 2010.

10. Barg A., Musin. O.R., Bounds on sets with few distances, J. of Comb. Theory, Ser. A, v. 118 (2011), p. 1465–1474.

11. Musin O.R., Nozaki H, Bounds on three- and higher-distance sets, European Journal of Combinatorics, v. 32 (2011) p. 1182–1190

12. Boyvalenkov P., Dodunekov S., Musin O.R., A survey on the kissing numbers, Serdica Mathematical Journal, v. 38 (2012), p. 507–522.

13. Musin O.R., Tarasov A.S., The Strong Thirteen Spheres Problem, Discrete Comput. Geom., v. 48 (2012), p. 128–141

14. Акопян А.В., Кабатянский Г.А., Мусин О.Р., Контактные числа, коды и сферические многочлены, Математическое просвещение. Третья Серия, Вып. 16 (2012), с. 57–74.

15. Акопян А.В., Мусин О.Р., О множествах с двумя расстояниями, Математическое просвещение. Третья Серия, Вып. 17 (2013), с. 136–151.