Научная тема: «ПРИЛОЖЕНИЯ ОЦЕНОК СУММ КЛОСТЕРМАНА К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ МЕТРИЧЕСКОЙ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ»
Специальность: 01.01.06
Год: 2009
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Для действительных чисел изучено поведение в среднем количества знаменателей подходящих дробей, не превосходящих данной границы. Для первого и второго момента доказаны дву­членные асимптотические формулы со степенными понижения­ми в остаточных членах.
  2. В задаче Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина для конечных цепных дробей доказана асимптотическая формула с двумя значащими членами и степенным понижением в остатке. Как следствие доказана независимость главного члена от формы рассматриваемой области.
  3. Получены принципиально новые оценки остаточных чле­нов в асимптотических формулах для первого и второго момен­тов числа шагов в алгоритме Евклида.
  4. В задаче Синая о статистических свойствах траекторий частиц, движущихся в двумерной кристаллической решетке, ис­следован неоднородный случай, когда траектории начинаются в окрестности целочисленной точки. Найдена плотность совмест­ного распределения длины свободного пробега и прицельного па­раметра (расстояния от траектории до центра первой пересечен­ной окрестности). В остаточном члене асимптотической форму­лы для плотности получено корневое понижение.
Список опубликованных работ
[1] Устинов А. В. О статистических свойствах конечных цеп¬ных дробей. — Записки научн. семин. ПОМИ, 322 (2005), 186-211.

[2] Устинов А. В. О статистиках Гаусса-Кузьмина для ко¬нечных цепных дробей. — Фунд. и прикл. математика 11 (2005), 195-208.

[3] Устинов А. В. Короткое доказательство тождества Эйлера для континуантов. — Мат. заметки, 79: 1 (2006), 155-156.

[4] Устинов А. В. Вычисление дисперсии в одной задаче из теории цепных дробей. — Мат. сборник, 198: 6 (2007), 139¬158.

[5] Устинов А. В. О среднем числе шагов в алгоритме Ев¬клида. — Материалы IX краевого конкурса молодых ученых, Хабаровск, ТОГУ (2007), 149-157.

[6] Быковский В. А., Устинов А. В Статистика траекторий частиц для однородной двумерной модели "Периодический газ Лоренца". — Функц. анализ и приложения, 42: 3 (2008),

10-22.

[7] Устинов А. В. О числе решений сравнения xy = l (mod q) под графиком дважды непрерывно дифференциру¬емой функции. — Алгебра и анализ, 20: 5 (2008), 186-216.

[8] Устинов А. В. Асимптотическое поведение первого и вто¬рого моментов для числа шагов в алгоритме Евклида. — Известия РАН, 72: 5 (2008), 189-224.