Пусть L - дифференциальный оператор в М2 с постоянными комплексными коэффициентами, символ которого - однородный эллиптический многочлен. Если фундаментальное решение оператора L локально ограничено, то для любого компакта X всякая функция /, непрерывная на X и удовлетворяющая уравнению Lf = 0 внутри X, равномерно приближается на X с любой степенью точности функциями, удовлетворяющими тому же уравнению в окрестностях X.23 Этот результат, в частности, при любом п ^ 2 применим к классу полианалитических функций порядка п, причем при п = 2 подтверждена гипотеза, сформулированная в середине 80-х годов Дж. Вердерой.
2. Получен критерий равномерной приближаемости гармоническими функциями на компактах в М3 для индивидуальных функций в терминах гармонической емкости Н. Винера. Соответствующая задача, известная с начала 70-х годов, была поставлена А.Г. О´Фарреллом.
3. Получен аналогичный критерий приближаемости индивидуальных функций гармоническими в нормах пространств Липшица Сm, 0 < т < 1, в терминах обхвата по Хаусдорфу порядка 1 + т.
4. В задаче о равномерной аппроксимации функций решениями уравнения Lf = 0 (где L - произвольный однородный эллиптический оператор в Rd, d ^ 2, с постоянными комплексными коэффициентами) получен технический результат общего характера, позволяющий снизить на 1 порядок требование к асимптотике на бесконечности у разностей между исходными и приближающими функциями, по сравнению со схемой приближений, предложенной А.Г. Витушкиным в 60-е годы. Это базовый результат, используемый в доказательствах сформулированных выше критериев.
5. Доказано, что для любой жордановой области G пространства R2 с границей Дини-Ляпунова множество граничных значений функций, полианалитических в G и непрерывных вплоть до границы Γ, имеет первую категорию в пространстве С (Γ). Построена жорданова область с липшицевой границей, для которой задача Дирихле в классе бианалитических функций разрешима при любой граничной функции / из С (Γ).
2 Мазалов М.Я. О равномерных приближениях бианалитическими функциями на произвольных компактах в С // Матем. сборник. 2004. Т. 195. №5, С. 79-102.
3 Мазалов М.Я. Критерий равномерной приближаемости гармоническими функциями на компактах в R3 // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2012. Т. 279, С. 120–165.
4 Мазалов М.Я. Критерий приближаемости гармоническими функциями в пространствах Липшица // Записки научных семинаров ПОМИ. 2012. Т. 401, С. 144–171.
5 Мазалов М.Я. О задаче Дирихле для полианалитических функций // Матем. сборник. 2009. Т. 200. №10, С. 59–80.
6 Мазалов М.Я. Равномерное приближение функций, непрерывных на произвольном компакте в C и аналитических внутри компакта, функциями, бианалитическими в его окрестности // Матем. заметки. 2001. Т. 69. №2, С. 245–261.
7 Мазалов М.Я. Пример непостоянной бианалитической функции, обращающейся в нуль всюду на нигде не аналитической границе // Матем. заметки. 1997. Т. 62. № 4, С. 629–632.
8 Мазалов М.Я. О задаче равномерного приближения гармонических функций // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23. №4, С. 136–178.
9 Мазалов М.Я. О равномерном приближении гармоническими функциями на компактах в R3 // Записки научных семинаров ПОМИ. 2011. Т. 389, С. 162–190.