Научная тема: «СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ, ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ И МЕРЫ КЛАРКА»
Специальность: 01.01.01
Год: 2013
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Установлена сходимость почти всюду интегралов типа Коши для операторов из одного L2-пространства на единичной окружности в другое, коммутаторы которых с умножением на независимую переменную имеют ранг 1, т.е. показано, что любой такой оператор является преобразованием Коши в смысле угловых граничных значений.
  2. Установлено линейное ограничение на операторы в L2-пространстве относительно сингулярной борелевской меры, коммутаторы которых с оператором умножения на независимую переменную принадлежат классу Шаттена-фон Неймана S1.
  3. Получено описание усечённых операторов Тёплица в пространстве Kθ в терминах коммутатора с оператором умножения в пространстве L2 по мере Кларка.
  4. Для случая коммутатора ранга 2 получены достаточные условия существования усреднённых волновых операторов в терминах непрерывности символов усечённых операторов Тёплица и непрерывности функций, применяемых к унитарным операторам, соответствующим паре различных мер Кларка.
  5. Показано, что для общего случая разности (или коммутатора) ранга 2 усреднённый слабый волновой оператор на сингулярном спектре может не существовать.
  6. Установлена взаимная абсолютная непрерывность спектральных мер для пары унитарных операторов на подпространствах, на которых предел, определяющий волновой оператор, не существует.
  7. Построено преобразование Гильберта относительно сингулярной меры, получены частичные описания классов функций, для которых оно определено, и показано, что ограниченность норм предпредельных выражений не влечёт существование предела.
  8. Получены результаты, уточняющие скорость L2-сходимости функций из Kθ к их граничным значениям.
  9. Построена функциональная модель для операторов, являющихся малыми возмущениями унитарных операторов (и не являющихся сжатиями), на основе весовых пространств Харди и оператора умножения на z с последующим вычитанием значения на бесконечности.
  10. Установлена локальность свойства модуля внешней функции, отвечающего за то, что заданная функция является выступающей точкой единичного шара пространства H1.
  11. Получено условие, равносильное подобию заданного почти унитарного оператора прямой сумме своих абсолютно непрерывной и сингулярной частей, в терминах весового преобразования Гильберта.
  12. Исследована спектральная структура возмущений изометрическойполугруппы сдвигов на полупрямой и унитарной группы, являющейсяеё дилатацией на всей прямой: показано, что добавления в виде прямогослагаемого любой унитарной группы с сингулярной мерой можно добиться для полугрупп с помощью ядерных возмущений, а для их дилатаций- с помощью возмущений из классов Шаттена-фон Неймана при p > 1.
Список опубликованных работ
1 V. Kapustin, Hyperreflexivity of contractions close to isometries.Bolibruch, A. A. et al. (ed.), Mathematics in St. Petersburg. Providence,RI: American Mathematical Society. Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc. 174(1996), 193–203.

2 В.В. Капустин, Одномерные возмущения сингулярных унитарных операторов, Зап. научн. семин. ПОМИ 232 (1996), 118–122.

3 В.В. Капустин, Характеристические функции и их факторизации, Зап. научн. семин. ПОМИ 247 (1997), 71–78.

4 В.В. Капустин, Операторы, близкие к унитарным, и их функциональные модели. 1, Зап. научн. семин. ПОМИ 255 (1998), 82–91.

5 В.В. Капустин, Вещественные функции в весовых пространствах Харди, Зап. научн. семин. ПОМИ 262 (1999), 138–146.

6 В.В. Капустин, Спектральный анализ почти унитарных операторов, Алгебра и анализ 13:5 (2001), 44–68.

7 В.В. Капустин, Несамоспряжённые расширения симметрических операторов, Зап. научн. семин. ПОМИ 282 (2001), 92–105.

8 В.В. Капустин, Граничные значения интегралов типа Коши, Алгебра и анализ 16:4 (2004), 114–131.

9 V. Kapustin, A. Poltoratski, Boundary convergence of vector-valued pseudocontinuable functions, J. Funct. Anal. 238:1 (2006), 313–326.

10 В.В. Капустин, Коммутаторы в модельных пространствах, Зап. научн. семин. ПОМИ 333 (2006), 54–61.

11 Г.Г. Амосов, А.Д. Баранов, В.В. Капустин, О возмущениях изометрической полугруппы сдвигов на полупрямой, Алгебра и анализ 22:4(2010), 1–20.

12 В.В. Капустин, О волновых операторах на сингулярном спектре, Зап. научн. семин. ПОМИ 376 (2010), 48–63.

13 A. Baranov, R. Bessonov, V. Kapustin, Symbols of truncated Toeplitz operators, J. Funct. Anal. 261:12 (2011), 3437–3456.

14 Г.Г. Амосов, А.Д. Баранов, В.В. Капустин, О применении модельных пространств для построения коциклических возмущений полугруппы сдвигов на полупрямой, Уфимск. матем. журн. 4:1 (2012), 17–28.

15 В.В. Капустин, Усредненные волновые операторы на сингулярном спектре, Функц. анализ и его прил. 46:2 (2012), 24–36.

16 В.В. Капустин, Интегралы типа Коши и сингулярные меры, Алгебра и анализ 24:5 (2012), 72–93.