- Построена классификация широкого класса эллиптических интегрируемых систем и более общих систем нелинейных уравнений в терминах групповых и алгебро-геометрических данных [12, 13, 16]. Все модели разбиваются на классы эквивалентности. Сингулярное калибровочное преобразование изменяет топологический заряд и связывает внутри каждого класса различные системы, среди которых есть модели типа IRF, вершинные модели, а также и новые, являющиеся "промежуточным звеном" между указанными двумя. На уровне классической механики калибровочная эквивалентность устанавливается между интегрируемыми системами взаимодействующих частиц типа Калодже-ро и интегрируемыми волчками типа Эйлера-Арнольда, а смешанный случай соответствует системам взаимодействующих волчков [4]. Общее утверждение позволяет построить интегрируемую систему по расслоению со структурной простой комплексной группой Ли и по характеристическому классу, определяющимся элементом центра группы.
- Получены новые квантовые динамические R-матрицы, описывающие "промежуточное звено" между нединамической R-матрицей Белавина-Дринфельда (связанной с вершинными моделями) и динамической R-матрицей Фельдера (связанной с моделями типа IRF и Русенарса) [17]. Все описанные R-матрицы связаны сингулярным калибровочным преобразованием (твистом Дринфельда или оператором Гекке) аналогично IRF-Vertex соответствию.
- Описана монопольная интерпретация указанного выше твиста Дринфельда в виде оператора ´т Хоофта в некоторой трехмерной калибровочной теории [10]. Это означает, что упомянутое сингулярное калибровочное преобразование порождает в соответствующей 3-х мерной теории монополь Дирака, причем различные интегрируемые системы являются для монополя граничными условиями. Попутно получена и нетривиальная деформация эллиптических функций на 3-х мерное пространство.
- Явно описан широкий класс эллиптический интегрируемых систем (типа Годена) и соответствующих уравнений изомонодромных деформаций (типа Шлезингера) [7], а также связанных с ними квадратичных алгебр [1, 9].
- Получены наиболее общие квантовые динамические граничные условия для XYZ магнетика. Соответствующая квадратичная алгебра задается уравнением отражения и обобщает алгебру Склянина [6, 3]. На уровне классической механики общее классическое граничное условие для XYZ магнетика описывается гиростатом Жуковского-Вольтерра, а его неавтономная версия эквивалентна (с явной заменой переменных) уравнению Пенлеве VI. Эквивалентность устанавливается тем же сингулярным калибровочным преобразованием, с использованием ранее полученной в [2] L-A пары для Пенлеве VI.
- Построены 1+1 интегрируемые обобщения систем Годена [11]. Полученные системы включают в себя модель главного кирального поля и магнетики (типа Ландау-Лифшица или непрерывной модели XYZ) как простейшие случаи первого и второго потоков в полной иерархии.
- Описана связь между эллиптическими и рациональными линейными задачами для уравнения Пенлеве VI. Показано, что полученные при этом L-A пары связаны модификациями расслоений [8].
- Установлено соответствие между классической и квантовой задачей для уравнений Пенлеве [14, 15]. Показано, что для каждого уравнения Пенлеве одно из уравнений в линейной задаче, записанное в подходящих переменных, имеет вид нестационарного уравнения Шредингера с соответствующим потенциалом по спектральному параметру. Тем самым, и классическое и квантовое уравнение содержатся в линейной задаче: классическое - как условие совместности, а квантовое - как уравнение на общую компоненту решения в подходящих переменных. Кроме того, решена и обратная задача, то есть показано, что при некоторых естественных условиях наличие скалярной линейной задачи в форме нестационарного уравнения Шредингера ограничивает возможный выбор потенциалов только потенциалами уравнений Пенлеве.
2 A. Zotov, Elliptic linear problem for Calogero-Inozemtsev model and Painleve VI equation, Lett. Math. Phys. 67 (2004) 153-165.
3 M.A. Olshanetsky, A.V. Zotov, Isomonodromic problems on elliptic curve, rigid tops and reflection equations, Rokko Lectures in Mathematics, 18 (2005) 149-171.
4 A.Levin, A.Zotov, Integrable Model of Interacting Elliptic Tops, Theor. Math. Phys., Vol. 146, Num. 1 (2006) 45-52
5 A. Zotov, Classical Integrable Systems and Their Field-Theoretical Generalizations, Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei, Vol 37, N 3, 400-443 (2006)
6 A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, Painleve VI, Rigid Tops and Reflection Equation, Commun. Math. Phys., Vol. 268, Num. 1, (2006) 67-103.
7 Yu. Chernyakov, A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, Elliptic Schlesinger system and Painleve VI, J. Phys. A: Math. Gen. 39, 12083-12101 (2006).
8 A. Levin, A. Zotov, On Rational and Elliptic Forms of Painleve VI Equation, Neretin, Yu. (ed.) et al., Moscow Seminar in mathematical physics, II. Translations. Series 2. American Mathematical Society 221. Advances in the Mathematical Sciences 60, 173-183 (2007)
9 Yu.Chernyakov, A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, Quadratic algebras related to elliptic curves, Theor. Math. Phys., Vol.156, Issue 2, (2008) 1103-1122.
10 Andrey M. Levin, Mikhail A. Olshanetsky, Andrei V. Zotov, Monopoles and modifications of bundles over elliptic curves, SIGMA 5 (2009), 065, 22 pages.
11 Andrei V. Zotov, 1+1 Gaudm Model, SIGMA 7 (2011), 067, 26 pages
12 A.M. Levin, M.A. Olshanetsky, A.V. Smirnov, A.V. Zotov, Characteristic Classes and Hitchin Systems. General Construction, Commun. Math. Phys., Vol. 316, Num. 1 (2012) 1-44.
13 A.M. Levin, M.A. Olshanetsky, A.V. Smirnov, A.V. Zotov, Calogero-Moser systems for simple Lie groups and characteristic classes of bundles, Journal of Geometry and Physics, 62 (2012) 1810-1850.
14 A. Zabrodin, A. Zotov, Quantum Painleve-Сalogero Correspondence, J. Math. Phys. 53, 073507 (2012).
15 A. Zabrodin, A. Zotov, Quantum Painleve-Calogero Correspondence for Painleve VI, J. Math. Phys. 53, 073508 (2012).
16 Andrey M. Levin, Mikhail A. Olshanetsky, Andrey V. Smirnov, Andrei V. Zotov, Hecke Transformations of Conformal Blocks in WZW Theory. I. KZB Equations for Non-trivial Bundles , SIGMA 8 (2012), 095, 37 pages.
17 A.M. Levin, M.A. Olshanetsky, A.V. Smirnov, A.V. Zotov, Characteristic Classes of SL(N,C)-Bundles and Quantum Dynamical Elliptic R-Matnces, J. Phys. A: Math. Theor., 46 (2013) 035201.