- Впервые получены необходимые и достаточные условия -автономности основной алгебры Ли комплексной системы линейных дифференциальных уравнений, которые для комплексной квазилинейной системы становятся достаточными условиями -автономности основной алгебры Ли.
- Впервые получены достаточные условия линейной автономности всех операторов, допускаемых системой линейных дифференциальных уравнений.
- Впервые предложен алгоритм исследования системы линейных дифференциальных уравнений относительно - автономности и линейной автономности ее основной алгебры Ли.
- Впервые получены структурные теоремы: о касательных преобразованиях, допускаемых квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, о точечных преобразованиях, допускаемых слабонелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка, о законах сохранения первого порядка для слабонелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, о законах сохранения первого порядка для линейных дифференциальных уравнений второго порядка; выполнена классификация по законам сохранения первого порядка линейного гиперболического дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- Впервые выполнена групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных. Тем самым, решена в простейшем случае одна из задач группового анализа, поставленная Л.В. Овсянниковым (1974).
- Впервые выполнен групповой анализ системы уравнений Ламе классической динамической теории упругости. Найдена основная группа Ли преобразований этой системы. Выполнено групповое расслоение уравнений Ламе относительно бесконечной подгруппы, содержащейся в нормальном делителе их основной группы. Разрешающая система (RL) этого расслоения, включает в себя две классические системы математической физики: систему уравнений безвихревой акустики и систему уравнений Максвелла, что позволяет использовать более широкие группы для получения точных решений уравнений Ламе. Получена конформно-инвариантная система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая волны сдвига в трехмерной упругой среде, содержащая наименьшее число дополнительных функций. Комплексификация этой системы позволяет получить новые классы точных решений уравнений Ламе.
- Впервые выполнен групповой анализ системы -мерных уравнений Ламе классической статической теории упругости. Найдена основная группа Ли преобразований этих уравнений. Выполнено групповое расслоение относительно бесконечной подгруппы из нормального делителя их основной группы. Получено общее решение автоморфной системы, которое является
-мерным аналогом формулы Колосова-Мусхелишвили. Разрешающая система в имеющих физический смысл двумерном и трехмерном случаях оказывается конформно-инвариантной, в то время как сами уравнения Ламе допускают лишь группу подобий евклидова пространства. В двумерном случае разрешающая система совпадает с системой Коши-Римана, что и позволяет успешно применять методы теории функций комплексной переменной в плоских задачах статической теории упругости. Структура разрешающей системы в трехмерном случае позволяет естественным образом ввести комплексные переменные. Полученная комплексная система дает возможность получать новые классы точных решений разрешающей системы, а, следовательно, и уравнений Ламе. - Впервые выполнена групповая классификация квазилинейного дифференциального уравнения третьего порядка, описывающего продольные колебания вязкоупругого стержня в модели Кельвина, относительно произвольного элемента: напряжения и коэффициента вязкости. Указаны краевые задачи, для которых полученные решения могут служить в качестве тестовых решений.
- Предложен новый метод, названный методом -операторов, получения всех законов сохранения для системы дифференциальных уравнений. Эффективность метода -операторов показана на примерах уравнений гидродинамики и газовой динамики, для которых найдены новые законы сохранения. Установлено, с какими дополнительными свойствами симметрии рассматриваемых уравнений связаны эти законы сохранения.
- Впервые исследована методами группового анализа одна из подмоделей газовой динамики, а именно: система уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука. Специальный выбор массовых лагранжевых переменных позволяет привести -мерную систему уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука к эквивалентной ей редуцированной системе, содержащей пространственных переменных, которая, в частности, при n = 2 с помощью комплексных зависимых и независимых переменных записывается в виде одномерного комплексного уравнения теплопроводности.
- Впервые проведена групповая классификация систем дифференциальных уравнений двадцати основных подмоделей уравнений газовой динамики (Программа «Подмодели», руководитель: академик Л.В. Овсянников). Найдены все случаи расширения основной группы каждой из этих систем по сравнению с соответствующим нормализатором.
2.Чиркунов Ю.А. О групповых свойствах и законах сохранения для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка // ПМТФ. 2009. Т. 50. № 3. С. 64–70.
3.Чиркунов Ю.А. Системы линейных дифференциальных уравнений, симметричные относительно преобразований, нелинейных по функции // СМЖ. 2009. Т. 50. № 3. С. 680–686.
4.Чиркунов Ю.А. Условия линейной автономности основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений // Докл. АН. 2009. Т. 426. № 5. С. 605–607.
5.Чиркунов Ю.А. Групповое расслоение уравнений Ламе классической динамической теории упругости // Известия АН. Механика твердого тела. 2009. № 3. С. 47–54.
6.Чиркунов Ю.А. Законы сохранения и групповые свойства уравнений газовой динамики с нулевой скоростью звука // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 587–593.
7.Чиркунов Ю.А. Групповая классификация систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями двух переменных // Докл. АН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 155–159.
8.Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповое расслоение уравнений Ламе // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 471–477.
9.Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповые свойства уравнений классической теории упругости // Докл. АН СССР.
1988. Т. 302. № 6. С. 1353–1356.
10.Чиркунов Ю.А. Об одной конформно-инвариантной системе первого порядка, равносильной волновому уравнению // СМЖ. Депонирована в ВИНИТИ за № 1604-В91 от 15.04. 1991 г. 15 с.
11.Чиркунов Ю.А. Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосибирский государственный университет экономики и управления. 2007. 362 с.
12.Чиркунов Ю.А. Групповое свойство уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. 1973. Вып. 14. Новосибирск. С. 138–140.
13.Чиркунов Ю.А. Групповой анализ уравнений Ламе // Динамика сплошной среды. 1975. Вып. 23. Новосибирск. С. 219–225.
14.Чиркунов Ю.А. О линейных дифференциальных уравнениях второго порядка, допускающих группу максимальной размерности // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 24. Новосибирск. С. 124–137.
15.Чиркунов Ю.А. О групповых свойствах уравнения Дарбу // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 27. Новосибирск. С. 101–115.
16.Чиркунов Ю.А. О построении методами группового анализа обобщенных формул Пуассона // Динамика сплошной среды. 1979.
Вып. 39. Новосибирск. С. 135–151.
17.Чиркунов Ю.А. Установившиеся колебания в неоднородном полупространстве при наличии гиперплоскости вырождения // Динамика сплошной среды. 1983. Вып. 63. Новосибирск. С. 94–106.
18.Чиркунов Ю.А. Нелинейные вязкоупругие одномерные модели Кельвина // Динамика сплошной среды. 1984. Вып. 64. Новосибирск. С. 121–131.
19.Чиркунов Ю.А. Групповая классификация одного класса систем квазилинейных уравнений // Динамика сплошной среды. 1984. Вып. 67. Новосибирск. С. 135–144.
20.Чиркунов Ю.А. Инвариантные продольные колебания вязко-упругого стержня // Динамика сплошной среды. 1985. Вып. 71. Новосибирск. С. 144–155.
21.Чиркунов Ю.А. Об условиях единственности решения уравнения колебаний в неоднородной среде с максимальной симметрией // Динамика сплошной среды. 1986. Вып. 75. Новосибирск. С. 151–159.
22.Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Конформная инвариантность в эластостатике // Динамика сплошной среды. 1987. Вып. 82. Новосибирск. С. 110–120.
23.Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Групповые свойства уравнений теории упругости // В кн.: Математические методы в механике. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. 1989. С. 38.
24.Чиркунов Ю.А. Групповой анализ уравнений теории упругости // В кн.: Sixth National Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Abstracts. – Varna: Bulgarian academy of sciences. National committee of theoretical and applied mechanics. 1989. P. II.99.
25.Прудников В.Ю., Чиркунов Ю.А. Законы сохранения для уравнений гидродинамики и газовой динамики // Международный семинар «Современный групповой анализ». Уфа. 1991. С. 28–29.
26.Чиркунов Ю.А. Законы сохранения для уравнений безвихревого движения газа // Актуальные проблемы прикл. математики и механики. Тезисы докладов IV Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова. Абрау – Дюрсо. ИММ УрО РАН (Екатеринбург), ЮГИНФО ЮФУ (Ростов–на–Дону). 2008. С. 72.
27.Чиркунов Ю.А. О проблеме линейной автономности операторов, допускаемых системой линейных дифференциальных уравнений // Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 100-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. Новосибирск: Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН. 2008. С. 231.
28.Чиркунов Ю.А. О свойствах симметрий и законов сохранения для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», приуроченная к 90-летию академика Л. В. Овсянникова. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН. 2009. С. 155.
29.Чиркунов Ю.А. Линейная автономность основной алгебры Ли системы линейных дифференциальных уравнений // Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», приуроченная к 90-летию академика Л. В. Овсянникова. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН. 2009. С. 154.
30.Чиркунов Ю.А. Симметрии и законы сохранения для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А. А. Самарского в связи с 90-летием со дня его рождения. М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, ИПМ РАН, ИММ РАН. 2009. С. 277–278.
31.Чиркунов Ю.А. Законы сохранения для уравнений газовой динамики //Всероссийская конференция «Математика в приложениях», приуроченная к 80-летию академика С. К. Годунова. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН. 2009. С. 269–270.
32.Chirkunov Yu.A. On the structure of point transformations, admitted by system of linear differential equations // International Conference “Modern Group Analysis (MOGRAN-13)”. Ufa, Russia. 2009. P. 36.