Научная тема: «ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА ПОЛУМОДУЛЕЙ И ПОЛУКОНТРАМОДУЛЕЙ: ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУР»
Специальность: 01.01.06
Год: 2013
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  • построена полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структур как гомологическая теория полумодулей и полуконтрамодулей над полуассоциативными полуалгебрами над коалгебрами и кокольцами;
  • введены определения копроизводных, контрапроизводных и полупроизводных категорий комодулей, контрамодулей, полумодулей и полуконтрамодулей, разработаны методы работы с такими категориями;
  • предложено общее определение двустороннего производного функтора от функтора двух аргументов со свойством сбалансированности;
  • следуя этому общему определению, построены полубесконечные версии функторов Ext и Тог как двусторонние производные функторы от не точных ни слева, ни справа функторов полутензорного произведения и полугомоморфизмов;
  • в частности, дано определение полубесконечных гомологии и когомологий ассоциативных алгебр, не зависящее ни от наличия градуировки с условиями положительности и отрицательности, ни от существования второй, дополнительной подалгебры (зависящее только от ассоциативной алгебры с одной подалгеброй и двойственной к этой подалгебре коалгеброй, с наложенными условиями приспособленности и "интегрируемости");
  • даны определения полубесконечных гомологии и когомологий локально компактной вполне несвязной топологической группы относительно ее компактной открытой подгруппы;
  • введены понятия контрамодулей над топологическими группами и топологическими кольцами;
  • построена эквивалентность полупроизводных категорий полумодулей и полуконтрамодулей над полуассоциативной полуалгеброй над коалгеброй над полем или над кокольцом над некоммутативным кольцом конечной гомологической размерности - производное полумодульно-полуконтрамодульное соответствие;
  •  построены относительные неоднородные варианты квадратичной и производной кошулевой двойственности для полуалгебр над кокольцами и квази-дифференциальных коколец;
  • построена структурная теория контрамодулей над коалгебрами над полями.
Список опубликованных работ
[1] L. Positselski. Homological algebra of semimodules and semicon-tramodules: Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures. Appendix С in collaboration with D. Rumynin; Appendix D in collaboration with S. Arkhipov. Monografie Matematy-czne IMPAN, vol. 70, Springer/Birkhauser Basel, 2010. xxiv+349 pp.

[2] R. Bezrukavnikov, L. Positselski. On semi-infinite cohomology of finite-dimensional graded algebras. Compositio Math. 146, #2, p. 480-496, 2010.

[3] L. Positselski. Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence. Memoirs of the American Math. Society 212, #996, 2011. vi+133 pp.

[4] A. Polishchuk, L. Positselski. Hochschild (co)homology of the second kind I. Transactions of the American Math. Society 364, #10, p. 5311-5368, 2012.

[5] L. Positselski. Coherent analogues of matrix factorizations and relative singularity categories. Electronic preprint arXiv: 1102.0261 [math.CT], 68 pp., 2011.

[6] L. Positselski. Weakly curved Aoo-algebras over a topological local ring. Electronicpreprint arXiv: 1202.2697 [math.CT], 167pp., 2012.

[7] L. Positselski. Contraherent cosheaves. Electronic preprint arXiv: 1209.2995 [math.CT], 186 pp., 2012-13.

[8] JI.E. Посицельский. Неоднородная квадратичная двойственность и кривизна. Функц. анализ и его прил. 27 (1993), №3, стр. 57-66.

[9] A. Polishchuk, L. Positselski. Quadratic algebras. University Lecture Series, 37. American Math. Society, Providence, RI, 2005. xii+159 pp.