- Свойства булевых определителей. Аналоги формул поли линейности по строкам (столбцам) и формул Вине - Коши в форме неравенства для булевых определителей. Описание обратимости квадратных булевой матриц в контексте определителей, присоединенных матриц и проблемы разложимости матрицы по строке или столбцу. Аналоги формул Крамера для систем линейных уравнений с обратимой квадратной матрицей коэффициентов.
- Описание булева определителя в терминах идеалов частичной полугруппы всевозможных булевых матриц с операцией конъюнктного произведения. Введение нового понятия минорного ранга булевой матрицы произвольного размера как инварианта двустороннего идеала частичной полугруппы всевозможных булевых матриц с частичной операцией произведения.
- Понятие вторичного идемпотента. Порождаемость матрицами одного и того же одностороннего главного идеала частичной полугруппы булевых матриц всевозможных размеров и совпадения соответствующих им вторичных идемпо-тентов определённого вида. Исследование проблемы разрешимости простейших матричных уравнений, делимости , регулярности в терминах вторичных идем-потентов.
- Характеристика вырожденных матриц. Нижняя полурешетка внешних матриц. Верхняя полурешетка внутренности и их структура полукольца и полумодуля. Приложения к комбинаторике матриц.
- Аналоги теоремы "о базисном миноре "для матриц над полем. Условия разрешимости некоторых типов булевых матричных уравнений и неравенств, сформулированные в терминах минорных рангов (аналоги теоремы Кронекера - Капелли). Оценка решений линейных уравнений (или неравенств) с квадратными булевыми матрицами коэффициентов перед неизвестными с помощью детерминантов и перманентов. Распространение формул Крамера на квадратные системы линейных неравенств.
1 Поплавский В.Б. Объемы и определители степеней транзитивных и рефлексивных булевых отношений на конечных множествах // Известия Тульского госуниверситета. Серия Математика. Механика. Информатика, 2004. Т. 10. Вып. 1. С. 134-141.
2 Поплавский В.Б. Обертоны осцилляторных булевых матриц // Известия Саратовского университета. Нов серия. Серия Математика. Механика. Информатика. Вып. 1/2, том 6. 2006 г. С. 29-37 .
3 Poplavski V. On cofactor expansion of determinants of Boolean matrices// Journal of Mathematical Sciences. Springer New York. Journal of Mathematical Sciences, Vol. 155, No. 6, 2008. P. 932- 956. Перевод статьи "О разложении определителей булевых матриц // Фундаментальная и прикладная математика. Том 13, выпуск 4, 2007 г. С. 199-223."
4 Поплавский В.Б. О рангах, классах Грина и теории определителей булевых матриц // Дискретная математика. Т.20, вып. 4, 2008, с. 42-60. (V.B. Poplavskii. On ranks, Green classes, and the theory of determinants of Boolean matrices. Discrete Mathematics and Applications. V. 18, 6 (2008), P. 641-658.)
5 Поплавский В.Б. О нулях определителя булевых матриц // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 3. С. 56-61.
6 Поплавский В.Б. Минорный ранг, нули определителя булевой матрицы и их приложения// Дискретная математика. 2011.23:3. С. 93-119. (Poplavskii, V. В. Minor rank, zeros of the determinant of a Boolean matrix, and their applications// Discrete Mathematics and Applications. V. 21, 5-6 (2011), P. 613-644.Translated from Discrete Mathematics.)
7 Поплавский В.Б. Формулы Крамера для систем линейных уравнений и неравенств над булевой алгеброй// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3, ч. 2. С. 43-46.
8 Поплавский В.Б. Об определителях матриц над полями, кольцами и полукольцами// Вестник МГАДА. Сер. Философские, социальные и естественные науки. 2011. №5(11). С.160-167.
9 Поплавский В.Б. Об идемпотентах алгебры булевых матриц // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 2. С. 26-33.
10 Поплавский В.Б. О приложениях ассоциативности дуальных произведений алгебры булевых матриц// Фундаментальная и прикладная математика. 2011/2012. Т. 17, вып. 4. С. 181-192.
Монографии
11 Поплавский В.Б. Булевы матрицы и определители. LAP Lambert Academic Publishing KG. 2011. -192c.
Прочие публикации
12 Поплавский В.Б. Ориентированные определители произведения булевых матриц // Математика, механика: Сб. науч. тр. , №6. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004, с. 111-114.
13 Поплавский В.Б. О степенях булевых матриц // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докл. VI Между нар. конф., посвященной 100-летию Н.Г. Чудакова (Саратов, 13-17 сентября 2004г.). - Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 2004. С. 92-93.
14 Поплавский В.Б. Определители степеней булевых матриц // Чебышевский сборник. Труды VI Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Т. 5. Вып. 3(11). 2004. С. 98-111.
15 Poplavski V.B. Orientation and permanent decomposition of Boolean matrices // Abstracts The 9th Asian Logic Conference 16- 19.08.2005. Novosibirsk, Russia. Novosibirsk State University, Sobolev Institute of Mathematics. P.117-119.
16 Поплавский В.Б. Ориентация булевых бинарных отношений на конечном множестве // Международная алгебраическая конференция. К 100-летию П.Г. Конторовича и 70- летию Л.Н. Шеврина. Екатеринбург, Россия. 29 августа - 3 сентября 2005г.). - Екатеринбург: Изд-во Уральского Ун-та, 2005. С. 139-143.
17 Поплавский В.Б. О равенстве обратных булевых матриц симметрической разности ориентированных присоединенных матриц // Математика, механика: Сб. науч. тр. , №7. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005, с. 94-97.
18 Поплавский В.Б. Обратимые и присоединенные булевы матрицы. Чебы-шевский сборник. Т. 6. Вып. 1, 2005. С.174-181.
19 Poplavski V. On orientability and degeneration of Boolean binary relation on a finite set // Mathematical Logic in Asia. Proceedings of the 9th Asian Logic Conference. Novosibirsk , Russia, 16-19 August 2005. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. (2006), New Jersey - London - Singapore. P. 203-214.
20 Поплавский В.Б. О разложимости определителей булевых (0,1)-матриц // Математика, механика: Сб. науч. тр. , №8. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. С. 105-108.
21 Poplavski V. On determinant expansion and minor rank function of matrices over arbitrary Boolean algebra // Материалы IX Международной конференции "Интеллектуальные системы и компьютерные науки". Москва, 23-27 октября 2006 г., Изд МГУ. Том 1, часть 1, 2006. С. 38-40.
22 Поплавский В.Б. О рангах булевых матриц // Тезисы Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского, Самара 21-26 мая 2007 . Самара. Изд. "Универс групп", 2007. С. 42-43.
23 Поплавский В.Б. Об одном свойстве определителей булевых матриц// Математика, механика: Сб. науч. тр., №9. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. С. 76-80.
24 Поплавский В.Б. Классы Грина и определители матриц над булевыми алгебрами// Тезисы Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша. Москва, МГУ имени М. В. Ломоносова, 28 мая - 3 июня 2008 года. Изд МГУ 2008. С. 187-189.
25 Поплавский В.Б. О матрицах над булевыми алгебрами и теории булевых определителей //Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры. Тез. докл. Междунар. науч. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения проф. В.В.Вагнера. Саратов, Россия, 5-7 ноября 2008 г.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. С. 128-130.
26 Поплавский В.Б. Об обращении определителя булевых матриц в ноль// Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы междунар. науч. конф., посвящ. 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садов-ничего. Мех.-мат. фак-т МГУ, Москва, Россия, 30 марта- 02 апреля 2009 г.- М.: Изд-во "Университетская книга", 2009. С. 399.
27 Поплавский В.Б. О сохранении равенства единице полуперманентов (0,1) булевых матриц // Математика, механика: Сб. науч. тр. , №11. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С.48-51.
28 Поплавский В.Б. О (ОД)-матрицах с равными единице полуперманентами// Материалы X Международного семинара "Дискретная математика и ее приложения"(Москва, МГУ, 1-6 февраля 2010г.) М.: Изд-во механико- математического факультета МГУ, 2010. С. 322-325.
29 Поплавский В.Б. О частичной полугруппе всевозможных булевых матриц // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докл. VIII Междунар. конф (Саратов, 12-17 сентября 2011г.). 2011. С. 58.
30 Poplavski V.B. On idempotents of Boolean matrix algebra // Int. Math. Conf. Mykolayiv, June 13-19, 2012. Book of Abstracts. P. 162-163.
31 Поплавский В.Б. Об идемпотентных булевых матрицах // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тез. докл. X Междунар. конф (Волгоград, 10-16 сентября 2012г.). Волгоград. Изд-во ВГСПУ "Перемена", 2012. С. 54-55.