- Предложен новый подход к точно решаемым случаям 1-мерного уравнения Шрёдингера. На его основе получена явная квадратурная формула для Ф-функции. Как частные случаи формула охватывает все потенциалы с конечным числом запрещенных зон в спектре и классические солитоны.
- Разработана схема регулярного вывода представления в терминах О-функций, не использующая аксиоматическое введение римановых поверхностей. Между квадратурами и классической спектральной концепцией имеется точное соответствие - спектрально квадратурная двойственность; она описана аналитически.
- Разработаны алгоритмические процедуры получения спектральных характеристик и дисперсионных соотношений Е = Е(к) для потенциалов в эллиптических функциях для широкого класса спектральных уравнений.
- Выведены дифференциальные уравнения на классические ^-функции Якоби и их конечнозонное расширение. Уравнения являются гамиль-тоновыми и лагранжевыми, а их частные случаи допускают постановку вопроса квантования данных динамических систем и его решение, включая спектральное уравнение для гамильтониана.
- Космологические алгебраические метрики Пикара-Хитчина, как решения уравнения Пенлеве-6, параметризуются в функциях. Как следствие, возникают гиперэллиптические кривые и эффективиза-ция конечнозонных потенциалов уравнения Шрёдингера в контексте методов униформизации.
- Развитый аппарат функций приводит к аналитически решаемым случаям теории униформизации алгебраических зависимостей. Предложена геометрически замкнутая переформулировка теории. Впервые найдены полностью и точно решаемые случаи.
2 Брежнев Ю. В. Об уравнениях Дубровина для конечнозонных операторов. Успехи мат. наук (2002) 57(2), 191-192.
3 Брежнев Ю. В. Конечнозонные потенциалы с тригональными кривыми. Теор. мат. физика (2002) 133(3), 398-404.
4 Брежнев Ю. В. О Т-функциональном решении 6-го трансцендента Пенлеве. Теор. мат. физика (2009) 161(3), 346-366.
5 Брежнев Ю. В. Трансцендентные формулы следов для конечнозонных потенциалов. Теор. мат. физика (2010) 164(1), 108-118.
6 Брежнев Ю. В. Эллиптические солитоны, фуксовы уравнения и алгоритмы. Алгебра и анализ (2012) 24(4), 34-63.
7 Брежнев Ю. В., Зайцев А. А., Сазонов С. В. К аналитической теории явления суперкомпенсации. Биофизика (2011) 56(2), 342-348.
8 Брежнев Ю. В., Сазонов С. В. О движении слабопереторможен-ных нелинейных осцилляторов. Изв. РАН. Физика (2012) 76(12), 1447-1451.
9 Устинов Н. В., Брежнев Ю.В. О Ф-функции для конечнозонных потенциалов. Успехи мат. наук (2002) 57(1), 167-168.
10 Brezhnev Yu. V. Elliptic solitons with free constants and their isospectral deformations. Reports on Math. Physics (2001) 48(1/2), 39-46.
11 Brezhnev Yu. V. Elliptic solitons and Grobner bases. Journ. Math. Physics (2004) 45(2), 696-712.
12 Brezhnev Yu. V. On the uniformization of algebraic curves. Moscow Math. Journ. (2008) 8(2), 233-271.
13 Brezhnev Yu. V. What does integrability of finite-gap or soliton potentials mean? Phil. Trans. Royal Society A: Math. Phys. Sciences (2008) 366(1867), 923-945.
14 Brezhnev Yu. V. On uniformization of Burnside’s curve y2 = x5 — x. Journ. Math. Physics (2009) 50(10), 103519(1-23).
15 Brezhnev Yu. V. On unformizable representation for Abelian integrals. In: Painleve Equations and Related Topics (eds: A. Bruno, A. Batkhin), 199-208. De Gruyter (2012).
16 Brezhnev Yu. V. Spectral/quadrature duality: Picard–Vessiot theory and finite-gap potentials. Algebraic aspects of Darboux transformations, quantum integrable systems and supersymmetric quantum mechanics (eds: P. Acosta-Hum´anez, F. Finkel, N. Kamran, P. Olver). Contemporary Mathematics (2012) 563, 1–31. Amer. Math. Soc.
17 Brezhnev Yu. V. The sixth Painlev´e transcendent and uniformizable orbi-folds. In: Painlev´e Equations and Related Topics (eds: A. Bruno, A. Batkhin), 193–198. De Gruyter (2012).
18 Brezhnev Yu. V. Non-canonical extension of θ-functions and modular integrability of ϑ-constants. Proc. Royal Soc. Edinburgh (2013) 143, 37– 85.
19 Brezhnev Yu. V. A note on Chudnovsky’s Fuchsian equations. Journ. Diff. Equations (2012) 253, 3727–3751.
20 Brezhnev Yu. V., Lyakhovich S. L., Sharapov A. A. Dynamical systems defining Jacobi’s ϑ-constants. Journ. Math. Physics (2011) 52(11), 112704(1–21).