2. Доказана расширенная теорема плотности для градуированных колец; описаны градуированные слабо примитивные кольца в случае, если градуировка кольца рассматривается по полугруппе, а градуировки модулей - по различным полигонам над этой полугруппой (при некоторых условиях сокращения, наложенных на полигон).
3. Описаны свойства градуированного центроида Мартиндейла полупервичного градуированного кольца. Получена градуированная версия теоремы Познера, утверждающая, что градуированная первичная PI-алгебра обладает градуированной простой конечномерной над своим градуированным центром алгеброй частных.
4. Дана характеристика специальных радикалов категории градуированных колец на языке теории представлений; рассмотрены градуированные версии классических радикалов и охарактеризованы классы модулей, им соответствующие; определен класс строго первичных градуированных модулей, характеризующий градуированный строго первичный радикал. Установлено, что локально разрешимый градуированный радикал обобщенно специальной супералгебры Ли совпадает с первичным градуированным радикалом.
Введено понятие первичного радикала градуированной Ω-группы, дано его поэлементное описание; доказано, что градуированный первичный радикал градуированной Ω-группы с условием конечности совпадает с нижним слабо разрешимым (в смысле Парфенова) радикалом.
5. Дано описание градуированных эквивалентностей Мориты в полных подкатегориях категорий градуированных модулей.
6. Решена проблема Бэра-Капланского для градуированных модулей, близких к свободным. Получены три критерия для изоморфизма градуированных колец эндоморфизмов быть индуцированным при помощи градуированного полулинейного преобразования, градуированной эквивалентности Мориты или градуированного точного вложения соответственно. Получены два критерия для антиизоморфизма градуированных колец эндоморфизмов быть индуцированным градуированным антиполулинейным преобразованием или градуированной антиэквивалентностью Мориты соответственно. Описаны "хорошие"градуировки на кольцах матриц над градуированными кольцами.
Тем самым в диссертации решены следующие проблемы:
- построение градуированной треугольной теории Галуа;
- градуированный вариант проблемы В.А. Андрунакиевича о специальных радикалах;
- градуированный вариант проблемы Мориты;
- градуированный вариант проблемы Бэра-Капланского.
[1] Балаба И.Н. Эквивалентности Мориты категорий градуированных модулей // Успехи матем. наук. - 1987. - Т. 42, вып. 3(255).- С. 177-178.
[2] Балаба И.Н. О слабо примитивных градуированных кольцах // Успехи матем. наук. - 2001. - Т. 56, вып. 6.- С. 139-140.
[3] Балаба И.Н. Градуированные регулярные кольца // Известия ТулГУ Серия Математика. Механика. Информатика. - 2002.- Т. 8, вып.1.- С. 5-9.
[4] Балаба И.Н. Градуированные первичные PI-алгебры //Фундаментальная и прикладная математика. - 2003. - Т.9, вып.1.- С. 19-26. (Balaba I. N. Graded prime PI-algebras// Journal of Mathematical Sciences. - 2005. -V. 128, no. 6.-P.3345-3349).
[5] Балаба И.Н., Зеленов СВ., Лимаренко С.В, Михалёв А.В. Теоремы плотности для градуированных колец // Фундаментальная и прикладная математика. – 2003. – Т.9, вып.1. – С. 27–50 (Balaba I. N., Limarenko S. V., Mikhalev A. V., Zelenov S. V. Density theorems for graded rings // Journal of Mathematical Sciences. – 2005. – V. 128, no. 6. – P. 3350–3364). MR2072616
Диссертанту принадлежит раздел, описывающий свойства градуированных слабо примитивных колец; автор также принимал активное участие в разработке общей части статьи.
[6] Балаба И.Н., Пихтильков С.А. Первичный радикал специальных супералгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. – 2003. – Т.9, вып.1. – С. 51–60 (Balaba I. N., Pikhtilkov S. A. Prime radicals of special Lie superalgebras // Journal of Mathematical Sciences. – 2005. – V. 128, no. 6. – P. 3365–3371). MR2072617
С.А.Пихтильков предложил методику исследования первичного радикала в супералгебрах Ли. В данной работе автор диссертации доказал локальную разрешимость первичного радикала обобщенно специальной супералгебры Ли, применяя технику градуированных радикалов.
[7] Михалёв А.В., Балаба И.Н., Пихтильков С.А. Первичный радикал градуированных Ω-групп // Фундаментальная и прикладная математика. – 2006.– Т. 12, вып. 2. – С. 159–174 (Mikhalev A. V., Balaba I. N., Pikhtilkov S. A. Prime radicals of graded Ω-groups // Journal of Mathematical Sciences. – 2008. – V. 149, no. 2. – P. 1146–1156). MR2249699
А.В.Михалёву принадлежит постановка задачи и общий план работы, С.А.Пихтилькову принадлежит идея рассмотрения слабо разрешимого радикала. В этой работе автором диссертации было введено понятие градуированного первичного радикал; доказана его разрешимость для групп с условием максимальности и совпадение с нижним слабо ррешимым для групп с условием конечности.
[8] Балаба И.Н. Индуцируемость антиизоморфизмов колец эндоморфизмов градуированных модулей антиполулинейным преобразованием // Успехи математических наук. – 2008. – Т. 63, вып. 3. – С. 151–152.
[9] Балаба И.Н., Михалёв А.В. Изоморфизмы и антиизоморфизмы колец эндоморфизмов градуированных модулей, близких к свободным // Доклады Академии Наук. – 2009. – Т. 425, № 5. – С. 1-4.
А.В.Михалёву принадлежит постановка задачи и общий план работы. Автору диссертации принадлежат доказательства основных результатов, касающихся описания изоморфизмов и антиизоморфизмов градуированных колец эндоморфизмов.
Прочие публикации
[10] Балаба И.Н. Изоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов прообразующих // Фундаментальная и прикладная математика.– 2007.– Т. 13, вып. 1.– С. 3–10 (Balaba I. N. Isomorphisms of graded endomorphism rings of progenerators // Journal of Mathematical Sciences. – 2008. – V. 152, no. 4. – P. 451-455). MR2322956
[11]Балаба И.Н., Михалёв А.В. Изоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов градуированных модулей, близких к свободным // Фундаментальная и прикладная математика. – 2007. – Т. 13, вып.5. – С. 3–18 (Balaba I. N. Mikhalev A. V. Isomorphisms of graded endomorphism rings of graded modules close to free ones // Journal of Mathematical Sciences. – 2009. – V. 156, no.2. – P. 209–218). MR2379739
Постановка задачи и общий план работы принадлежит А.В.Михалёву, доказательства основных результатов, использующие специфику градуированного случая, принадлежат автору диссертации.
[12] Балаба И.Н. Первичные градуированные модули // Фундаментальная и прикладная математика. – 2008.– Т. 14, вып. 4. – С. 65–74 (Balaba I. N. Prime graded modules// Journal of Mathematical Sciences. – 2009. – V.163, no.5. – P. 487–492). MR2482033
[13] Балаба И.Н., Михалёв А.В. Антиизоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов градуированных модулей, близких к свободным // Фундаментальная и прикладная математика. – 2008. – Т. 14, вып. 7. – С. 23 – 36 (Balaba I. N. Mikhalev A. V. Anti-isomorphisms of graded endomorphism rings of graded modules close to free ones// Journal of Mathematical Sciences. – 2010. – V. 164, no.2. – P. 168–177). MR2533594
Постановка задачи и общий план работы принадлежит А.В.Михалёву, доказательства основных результатов, использующие специфику градуированного случая, принадлежат автору диссертации.
[14] Балаба И. Н., Канунников А.Л., Михалёв А.В. Кольца частных градуированных ассоциативных колец // Фундамент. и прикл. матем. – 2011– 2012. – Т. 17, № 2. – С. 3 – 74.
Диссертанту принадлежит раздел 7, касающийся мартиндейловских градуированных колец частных; автор также принимал активное участие в разработке общей части статьи.
[15] Балаба И.Н. Градуированное максимальное кольцо частных. // Известия ТГУ, матем., механ., информат. – 1997 – T.3, вып.1. – С. 5–7.
[16] Balaba I.N. Special radicals of graded rings. // Bull. Academie de stinte a Republici Moldova. Matematica. – 2004. – V. 44, no.1. – P. 26–33. MR2097593
[17] Балаба И.Н. Радикалы в категории градуированных по полугруппе колец // Чебышевский сборник. – 2004. – Т. 5, вып. 4 (12).– С. 58–64.
[18] Балаба И. Н.Изоморфизмы градуированных колец линейных преобразований градуированных векторных пространств // Чебышевский сборник. – 2005. – Т. 6, вып. 4(16).– С. 6–23.
[19] Балаба И. Н., Ефремов В.А. Градуированные кольца частных полупервичных градуированных колец // Чебышевский сборник. – 2010. – Т. 11, вып. 1(33) – С. 20-30.
Диссертанту принадлежат формулировка основных результатов и доказательства теорем 1-3.
[20] Балаба И. Н. Градуированные регулярные кольца и модули // Чебышевский сборник. – 2010. – Т 11, вып. 3 (35) – С. 22–31.
[21] Балаба И.Н. Кольца частных полупервичных градуированных колец// Труды международного семинара Универсальная алгебра и ее приложения“– Волгоград, 2000. – С.21–28.
[22] Балаба И.Н. Теоремы плотности градуированных колец // Сб. трудов ППС ТГПУ (Толстовские чтения), ч.2. – Тула, 1996. – С. 23.
[23] Балаба И. Н. Хорошие градуировки на кольцах матриц // Материалы VII международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения“, посвященная памяти профессора А.А.Карацубы. – Тула: Изд-во Тул.гос.пед.ун-та им. Л.Н.Толстого, 2010. – С. 35–36.
Тезисы:
[24] Балаба И.Н. Эквивалентности в категории градуированных модулей// Сб. тезисов Международной конф.по алгебре. – Красноярск, 1993. – С. 12.
[25] Балаба И.Н. Градуированные слабо примитивные кольца // Сб. тезисов III Междунар. конфер. Современные проблемы теории чисел и ее ” приложения“– Тула, 1996. – С. 12.
[26] Balaba I.N. Graded maximal right ring of quotient // Тезисы докладов Международ. алгебр. конф. памяти А.Г. Куроша. – М.: МГУ, 1998. – С. 33.
[27] Балаба И.Н. Кольца частных полупервичных градуированных колец // Сб. тезисов междунар. конфер. Универсальная алгебра и ее приложения“. – Волгоград, 1999. – С. 16.
[28] Балаба И.Н. Градуированные регулярные модули // Сб. тезисов международного алгебраического семинара, посвященного 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре. – М., 2000. – С. 5-6.
[29] Балаба И.Н. Регулярные кольца, градуированные полугруппой // Тезисы докладов IV Международной конференции Современные проблемы теории чисел и ее приложения“. – Тула, 2001. – С. 16–17.
[30] Балаба И.Н. Градуированный вариант теоремы Познера // Тезисы докладов международной алгебраической конференции, посвященной памяти З.И.Боревича - СПб: ПОМИ им.Стеклова, 2002. – С. 15–16.
[31] Балаба И.Н. Регулярные строго градуированные кольца // Тезисы докладов V Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения“– Тула: ТГПУ, 2003 – С. 21–22.
[32] Balaba I.N. Graded radicals of graded rings. // International conference on radicals (ICOR-2003) dedicated to the memory of prof. V.Andrunakievich (program and abstacts) - Chishinev, 2003. – P.14–16.
[33] Балаба И.Н. О градуированном радикале Джекобсона // Тезисы докладов Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры высшей алгебры. – М., 2004. – С. 9–10.
[34] Балаба И.Н. Градуированные кольца линейных преобразований //Международная научная конференция Современные проблемы математики, механики, информатики“, Тула, 2007. – С. 8–10.
[35] Балаба И.Н. Изоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов // Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского: тезисы докладов. – Самара: Изд-во Универс групп“, 2007. – С. 7–8.
[36] Балаба И.Н. Об индуцируемости антиизоморфизма колец градуированных эндоморфизмов антиполулинейным изоморфизмом // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. Тезисы докладов. - М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2008. – С. 31–32
[37] И. Н. Балаба, А. В. Михалёв. Изоморфизмы и антиизоморфизмы колец эндоморфизмов градуированных модулей // Материалы VII международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения“, посвященная памяти профессора А.А.Карацубы. - Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2010. – С. 36-38.
[38] Балаба И.Н. Градуированная проективная алгебра //Тезисы докладов VIII международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения“, посвященной 190-летию П.Л.Чебышева и 120-летию И.М.Виноградова. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. – С. 7–8.
[39] Балаба И.Н. Градуированные простые артиновы кольца // Материалы международной конференции Алгебра и математическая логика“, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В.Морозова. – Казань: КФУ, 2011. – С. 43–44.