- Дана конструкция самоподобных функций в пространствах Lp[0,1], С[0,1]. Получен критерий сжимаемости оператора (1) в этих пространствах. Найдены условия, при которых самоподобная функция является непрерывной. Получены достаточные условия монотонности самоподобной функции положительного спектрального порядка. Для функций нулевого спектрального порядка (так называемых функций с вырожденным самоподобием) получены критерии монотонности и ограниченности вариации. Рассмотрены неаффинно-самоподобные функции.
- Получены асимптотические формулы для считающей функции собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с самоподобным сингулярным индефинитным весом в случаях:
- арифметического самоподобия;
- неарифметического самоподобия;
- вырожденного арифметического самоподобия;
- дискретного самоподобного веса (вырожденного самоподобия). В этом случае получены более тонкие результаты об асимптотическом поведении собственных значений: показано, что собственные значения можно разбить на серии, для каждой из которых получены асимптотические формулы.
- Получены асимптотические формулы для считающей функции собственных значений самосопряжённого дифференциального оператора высокого порядка с дискретной самоподобной мерой.
- Обнаружена связь между задачей Штурма-Лиувилля с двучленными дискретными самоподобными весами и оператором Якоби с экспоненциально растущими матричными элементами. Исследованы спектральные свойства оператора Якоби с экспоненциально растущими матричными элементами. Рассмотрены матрицы Якоби, задающие самосопряжённый оператор как в гильбертовом пространстве, так и в пространстве Крейна.
1.И. А. Шейпак, О конструкции и некоторых свойствах самоподобных функций в пространствах Lp[0,l]//М&тем. заметки, 81:6, 2007, 924-938.
2.И. А. Шейпак, Особые точки самоподобной функции нулевого спектрального порядка. Самоподобная струна Стилтьеса, Матем. заметки, 88:2, 2010, N2, 303-316.
3.А. А. Владимиров, И. А. Шейпак, Самоподобные функции в пространстве L2IP, 1] и задача Штурма-Лиувилля с сингулярным весом// Матем. сборник, т.197(11), 2006, 13-30. (И. А. Шейпаку принадлежит параграф 3, пункт 5.1 §5, А.А.Владимирову принадлежат теоремы 2.1, 2.2 параграфа 2, §4 и пункт 5.2 §5).
4.А. А. Владимиров, И. А. Шейпак, Индефинитная задача Штурма-Лиувилля для некоторых классов самоподобных сингулярных весов Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова, т. 255, 2006, 88-98 (А. А. Владимирову принадлежат теорема 2.1, теорема 4.1, Шейпаку Игорю Анатольевичу принадлежат остальные результаты.).
5.И. А. Шейпак Нетривиальные фракталы на плоскости и линейные операторы с совместным спектральным радиусом единица//Матем. заметки, 1998, т.63, вып.5, с. 797-800.
6.Шейпак И. А., Спектральный анализ несимметрично-возмущенного течения Куэтта и связанные с ним вопросы гидродинамической устойчивости//Математические заметки, 1995, т. 57 вып. 2, 278-282.
7.А.А.Владимиров, И. А. Шейпак Асимптотика собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом/ /Матем. заметки, 2010, т. 88, вып. 5, 662-672. (И А. Шейпаку принадлежит параграф 2 и основная идея получения результатов §§3-4, А.А.Владимирову принадлежит теорема 4.1 §4).
8.Nazarov A. I., Sheipak LA., Degenerate self-similar measures, spectral asymptotics and small ball deviations of gaussian processes//Bulletin of the London Mathematical Society, 44 (2012) 12— 24; (doi:10.1112/blms/bdr056). (И. А. Шейпаку принадлежит параграф 2 и часть доказательства теоремы 3.1 §3, А.И.Назарову принадлежат доказательство неравенств (3.10), (3.11) §3; параграфы 1, 4 и приложение).
9.И. А. Шейпак, О спектре оператора Якоби с экспоненциально растущими матричными элементами/У Вестник МГУ, Серия 1. Математика. Механика (2011), N.6, 16-21.
10.Шейпак И. А., О базисных свойствах системы корневых векторов оператора, близкого к самосопряженному в пространстве Понтря-ггша//Математические заметки, 1995, т. 57, вып. 6, 937-940.
11.Н.В.Гаганов, И. А. Шейпак, Критерий ограниченности вариации самоподобных функций// Сибирский математический журнал, Январь, февраль, 2012, т. 53, №1, 68-88. (И. А. Шейпаку принадлежат параграфы 1,2,3 и 5, Н. В. Гаганову принадлежит §4).
12.Шейпак И. А., О базисных свойствах системы собственных функций одной задачи гидродинамики//Математические заметки, 1995, т. 58, вып. 5, 790-794.
(Примыкающие к основным публикациям).
13.И. А. Шейпак Нетривиальные фракталы и операторы с совместным единичным спектральным радиусом//Успеха матем. наук, 1998, т.53, вып.4, 201.
14.Sheipak I. A., On the spectrum of some class of Jacobi operators in a Krein s£>ace//Operator Theory: Advances and Applications, 2012, Vol. 221, 619-628, Springer Basel AC
15.Шейпак И. А., К теории устойчивости движения жидкости в кольцевом канале в присутствии магнитного поля и связанные спектральные задачи// Фундаментальная и прикладная математика 2001, т. 7, вып. 2, 583-596.
16.Sheipak I. A., Fractal invariant sets and linear operators with joint spectral radius which is equal to cme//Proceedings of VII Crimean Autumn Mathematical School-Symposium on Spectral and evolutionary problems, Simferopol, Crimea, 1998, vol. 8, Taurida National V.Vernadsky University Publishers
17.И. А. Шейпак, Критерии ограниченности вариации самоподобных функций//Материалы 15-й Саратовской зимней школы -«Современные проблемы теории функций и их приложений», СГУ, 2010,188.
18.А. А. Владимиров, И. А. Шейпак О двух случаях самоподобия функций в пространстве L2[0,1] и задача Штурма-Лиувилля с сингулярным индефинитным весом//Тезисы докладов Международной конференции <Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ>, посвященная столетию С. М. Никольского, Москва, 2005, 70. (И.А.Шейпаку принадлежит основная идея построения самоподобных функций, лемма 1, лемма 2, А. А. Владимирову — теоремы 3 и 4).
19.Sheipak I.A., Indefinite Sturm-Liouville operators with singular self-similar weights// Proceedings of 6 Workshop on Operator Theory in Krein Spaces and Differential Equations, Berlin, 2006, Technische Universitat Berlin Publisher, 23.
20.Sheipak I. А., Асимптотика собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом// Proceedings of 7 Workshop on Operator Theory in Krein Spaces and Differential Equations, Berlin, Technische Universitat Berlin Publishers, 2007, 19.
21.А.А.Владимиров, И. А. Шейпак О собственных частотах колебания струны с точечным распределением ,масс//Тезисы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященная 106-летию со дня рождения И.Г.Петровского. Сборник тезисов, Москва, 2007, 331. (И А. Шейпаку принадлежит основная идея доказательства теоремы 1).
22.И. А. Шейпак О спектре задачи Штурма-Лиувилля с дискретным индефинитным весом// Материалы Воронежской весенней математической школы "Современные методы теории краевых задач. Понтрягин-ские чтения XIX Воронеж, 2008, с. 63-64.
23.Sheipak I. A., On spectrum of operator Jacobi with exponentially increasing matrix elements//Proceedings of 8 Workshop on Operator Theory in Krein Spaces and Differential Equations, Berlin, 2008 (международная конференция), Technische Universitat Berlin Publishers, 2008, 22.