- Доказано, что при вычислении методом Арнольди <крайних> собственных пар сходимость имеет место со скоростью геометрической прогрессии, показатель которой выражается через значение функции Грина дополнения к полю значений сужения оператора на инвариантное подпространство, порождённое <неинтересной> частью спектра. Предложен метод спектрального разложения Арнольди для вычисления умноженной на вектор операторной функции; дана оценка погрешности этого метода в терминах коэффициентов ряда Фабера вычисляемой функции, построенного на поле значений.
- Исследован метод спектрального разложения Ланцоша для вычисления умноженной на вектор функции от эрмитовой матрицы. Для точной арифметики дана оценка погрешности метода в терминах коэффициентов ряда вычисляемой функции по многочленам Чебышёва, смещённым на спектральный интервал. Оценена погрешность вычисления произвольно расположенного в спектральном интервале собственного значения методом Ланцоша; в частности, показано, что числа Ритца сходятся к заданному собственному значению со скоростью геометрической прогрессии, показатель которой определяется отделённостью собственного значения в спектре.
- С помощью техники возмущённых чебышёвских рекурсий оценка погрешности метода спектрального разложения Ланцоша обобщена на случай машинной арифметики. Показано, что неустойчивость метода спектрального разложения Ланцоша в машинной арифметике не препятствует его практическому применению. Аналогичный результат получен для квадратуры Гаусса-Ланцоша. Доказаны конкретные утверждения, касающиеся феномена Ланцоша; в частности, установлено, что при выполнении ограничений, проистекающих из теории Пэйджа, минимальная ошибка вычисления хорошо отделённого собственного значения имеет примерно порядок машинной ошибки округления.
- В терминах линейных ограниченных операторов показано, почему на практике обсуждаемые методы работают лучше, чем гарантировано предыдущими оценками (адаптация к спектру). Адаптивные оценки погрешности сформулированы в терминах функции Грина неограниченной компоненты дополнения к операторному спектру. Получены результаты о сходимости на подпоследовательностях шагов процесса Ланцоша или Арнольди в ситуациях, когда процесс сходиться в обычном смысле не обязан. Проанализирована эффективность квадратуры Гаусса- Арнольди.
2 Друскин В. Л., Книжнерман Л. А. Два полиномиальных метода вычисления функций от симметричных матриц // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. № 12. С. 1763-1775.
3 Друскин В. Л., Книжнерман Л. А. Оценки ошибок в простом процессе Ланцоша при вычислении функций от симметричных матриц и собственных значений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. № 7. С. 970-983.
4 Книжнерман Л. А. Вычисление функций от несимметричных матриц с помощью метода Арнольди // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. N° 1. С. 5-16.
5 Книжнерман Л. А. Оценки погрешности метода Арнольди: случай нормальной матрицы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. N- 9. С. 1347-1360.
6 Druskin V., Knizhnerman L. The Lanczos optimization of a splitting-up method to solve homogeneous evolutionary equations // J. Comput. Appl. Math. 1992. V. 42. № 2. P. 221-231.
7 Druskin V., Knizhnerman L. Evaluation for Krylov subspace approximation to internal eigenvalues of large symmetric matrices and bounded self-adjoint operators with continuous spectrum // Schlumberger-Doll Research. 1992. Res. note EMG-001. 20 p.
8 Druskin V., Knizhnerman L. Error bounds for Lanczos method to compute matrix-vector functions // Cornelius Lanczos International Centenary Conference. Conference Program. December 12-17, 1993. North Carolina State University, Raleigh, North Carolina. P. 85.
9 Knizhnerman L. The quality of approximations to a separated eigenvalue and location of values” // Cornelius Lanczos International Centenary Conference. Conference Program. December 12-17, 1993. North Carolina State University, Raleigh, North Carolina. P. 90.
10 Druskin V., Knizhnerman L. Krylov subspace approximation of eigenpairs and matrix functions in exact and computer arithmetic // Numer. Linear Algebra with Appl. 1995. V. 2. № 3. P. 205-217.
11 Книжнерман Л. А. Качество аппроксимаций к хорошо отделённому собственному значению и расположение <чисел Ритца> в простом процессе Ланцоша // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. N° 10. С. 1459-1475.
12 Knizhnerman L. On adaptation of the Lanczos method to the spectrum // Schlumberger-Doll Research. 1995. Res. Note EMG-001-95-12. 18 p.
13 Книжнерман Л. А. Простой процесс Ланцоша: оценки погрешности гауссовой квадратурной формулы и их приложения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. N° 11. С. 5-19.
14 Knizhnerman L. On adaptation of the Arnoldi method to the spectrum // Schlumberger-Doll Research. 1996. Report EMG-001-96-03. 13 p.
15 Knizhnerman L. On adaptation of the Lanczos and Arnoldi methods to the spectrum // Workshop on Iterative Methods and Parallel Computing, June 16-21, 1997, Milovy, Czech Republic. Abstracts.
16 Druskin V., Greenbaum A., Knizhnerman L. Using nonorthogonal Lanczos vectors in the computation of matrix functions // SIAM J. Sci. Comp. 1998. V. 19. № 1. P. 38-54.
17 Greenbaum A., Druskin V. L., Knizhnerman L. A. On solving indefinite symmetric linear systems by means of the Lanczos method // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 3. C. 371-377.
18 Knizhnerman L. Error bounds for the Arnoldi method: a set of extreme eigenpairs // Linear Algebra and its Applic. 1999. V. 296. P. 191-211.
19 Knizhnerman L. Adaptation of the Lanczos and Arnoldi methods to the spectrum, or why the two Krylov subspace methods are powerful // Чебышёвский сборник. 2002. V. 3. № 2. P. 141-164.zl
20 Knizhnerman L. The quality of the Gauss-Arnoldi quadrature for — A)~l(p, cp) and application to Pade-like approximation, In: SIAM-GAMM ALA 2006, Dusseldorf. Abstracts of the Applied Linear Algebra Conference SIAM-GAMM, 2006.
21 Книжнерман Л. А. Квадратура Гаусса-Арнольди для функции ((zl — А)~1ср, ф) и Паде-подобная рациональная аппроксимация функций марковского типа // Матем. сб. 2008. Т. 199. № 2. С. 27-48.