- Получены новые аппроксимирующие пространства (бесконечномерные и конечномерные) с локальным базисом - пространства минимальных сплайнов лагранжева типа произвольного порядка, в том числе пространства минимальных сплайнов максимальной гладкости. Исследованы свойства соответствующих сплайнов, построенных на неравномерной сетке на интервале и на отрезке. Найдено новое представление определяющей сплайн цепочки векторов. Указан новый алгоритм построения сплайнов произвольного порядка. Установлена связь этого алгоритма с алгоритмом построения элементарных симметрических многочленов. Даны примеры построения полиномиальных и неполиномиальных сплайнов.
- Установлены калибровочные соотношения, которые дают представление сплайнов на исходной сетке в виде линейной комбинации сплайнов на сетке, полученной измельчением исходной сетки, и калибровочные соотношения, которые дают представление сплайнов на укрупненной сетке в виде линейной комбинации сплайнов на исходной сетке, выписаны соответствующие матрицы реконструкции. Для последовательностей сеток, построенных измельчением или укрупнением исходной сетки, получены цепочки вложенных пространств сплайнов.
- Построены системы линейных функционалов, биортогональные минимальным сплайнам. Решен соответствующий класс интерполяционных задач. Для измельчения и укрупнения сетки выписаны соответствующие матрицы декомпозиции.
- Построено сплайн-всплесковое сжатие и сплайн-всплесковое уточнение на интервале и на отрезке. Даны представления цепочек вложенных пространств в виде прямой суммы всплесковых пространств с локальным базисом. Получены соответствующие формулы декомпозиции и реконструкции на интервале и на отрезке. Рассмотрены варианты телескопических систем и их всплесковые разложения.
- Для функций из пространства Cm+1 построена аппроксимация в виде линейной комбинации базисных сплайнов, коэффициентами которой являются значения аппроксимационных функционалов. В качестве аппрокси-мационных функционалов использованы системы биортогональных функционалов. Дано представление остатка приближения. Построенная аппроксимация обладает свойством точности на компонентах порождающей сплайны вектор-функции. Приведены результаты численных экспериментов по аппроксимации, в том числе результаты приближения в случае сплайн-всплесковой модели аппроксимации.
- Построено всплесковое разложение пространства исходных потоков. Дана оценка числа арифметических операций в формулах декомпозиции и реконструкции. Исследована устойчивость вычислений при декомпозиции и реконструкции. Даны способы распараллеливания всплесковых разложений. Представлены результаты применения алгоритмов декомпозиции и реконструкции к сжатию и восстановлению модельных числовых потоков, в том числе и изображений; приведены результаты сравнения с существующими подходами.
- Разработан программный комплекс моделирования минимальных сплайнов максимальной гладкости, предназначенный для решения вычислительных задач аппроксимации функций, сжатия, уточнения и восстановления числовых потоков данных в режиме реального времени.
2 Макаров А. А. О распараллеливании вэйвлетных методов сжатия информации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 4. С. 45–49.
3 Макаров А. А. Нормализованные тригонометрические сплайны лаг-ранжева типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 3. С. 81–87. (Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, 41 (2008), no. 3, 266–272.)
4 Макаров А. А. О вэйвлетном разложении пространств сплайнов первого порядка // Проблемы матем. анализа. 2008. Вып. 38. С. 47–60. (J. Math. Sci. 156 (2009), no. 4, 617—631.)
5 Макаров А. А. Моделирование калибровочных соотношений для неполиномиальных сплайнов // Вычисл. технологии. 2008. Т. 13. Спец. вып. 4. С. 94–100.
6 Макаров А. А. Один вариант сплайн-вэйвлетного разложения пространств B-сплайнов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2009. Вып. 2. С. 59–71.
7 Макаров А. А. О построении сплайнов максимальной гладкости // Проблемы матем. анализа. 2011. Вып. 60. С. 25–38. (J. Math. Sci. 178 (2011), no. 6, 589–604.)
8 Макаров А. А. Матрицы реконструкции и калибровочные соотношения для минимальных сплайнов // Проблемы матем. анализа. 2011. Вып. 60. С. 39–52. (J. Math. Sci. 178 (2011), no. 6, 605–621.)
9 Макаров А. А. Матрицы реконструкции и декомпозиции для линейных сплайнов // Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 18. С. 215–236.
10 Макаров А. А. Алгоритмы вэйвлетного уточнения пространств сплайнов первого порядка // Труды СПИИРАН. 2011. Вып. 19. С. 203–220.
11 Макаров А. А. Матрицы добавления и удаления узлов для неполиномиальных сплайнов // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13. С. 74–86.
12 Демьянович Ю. К., Макаров А. А. Калибровочные соотношения для неполиномиальных сплайнов // Проблемы матем. анализа. 2006. Вып. 34. С. 39–54. (J. Math. Sci. 142 (2007), no. 1, 1769–1787.)
13 Демьянович Ю. К., Косогоров О. М., Макаров А. А. Возможности распараллеливания вэйвлетно-сплайнового сжатия на неравномерной сетке // Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах. Материалы Седьмой Международной конференции-семинара. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. С. 381–384.
14 Макаров А. А. Сплайн-вэйвлетная модель аппроксимации на неравномерной сетке // Космос, астрономия и программирование (Лавровские чтения): Тезисы докладов междунар. науч. конференции, С.-Петербург, 20–22 мая 2008 г. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 216–221.
15 Макаров А. А. Минимальные тригонометрические сплайны нулевой высоты // Методы вычислений. Вып. 22. Сб. / Под ред. В. М. Рябова. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 82–98.
16 Косогоров О. М., Макаров А. А. О сплайн-вэйвлетном сжатии на неравномерной сетке // Питання оптимизацii обчислень (ПОО-XXXV): Працi мiжнародного симпозiуму, смт. Кацивелi, Украiна, 24–29 вересня 2009 р. — Киiв: Iнститут кiбернетики iменi В. М. Глушкова, 2009. Т. 1. С. 340–345.
17 Kosogorov O. M., Makarov A. A. Spline wavelet decomposition and parallel compression // Zbornik radova konferencije MIT 2009. University of Pristina. Beograd, 2010. P. 202–205.
18 Макаров А. А. Кусочно-непрерывные сплайн-вэйвлеты на неравномерной сетке // Труды СПИИРАН. 2010. Вып. 14. C. 103–131.
19 Макаров А. А. Сплайн-вэйвлетные разложения на неравномерной сетке. Некоторые варианты построения. Lambert Academic Publishing, 2010. 130 с.
20 Макаров А. А. Сплайн-вейвлетное сжатие на отрезке // Семинар «DHA & CAGD». Избранные доклады. 12 ноября 2011 г. (http://dha.spb.ru/reps11.shtml#1112)