- Введено пространство граничных значений замкнутых линейных операторов и отношений, приспособленное для описания обратимых сужений, изучены свойства этого пространства и в терминах абстрактных граничных значений дано описание спектра, получены условия фредгольмовости и разрешимости. Кроме того, в терминах абстрактных граничных условий получены условия резольвентной сравнимости сужений и расширений линейных операторов и отношений, исследована зависимость асимптотики s-чисел резольвент от асимптотики s-чисел операторов, входящих в абстрактные граничные условия.
- Введено пространство граничных значений симметрических операторов и отношений, изучены свойства этого пространства. В терминах абстрактных граничных значений дано описание различных классов расширений (диссипативных, самосопряженных и других).
- Получено описание обобщенных резольвент симметрических операторов и отношений с помощью абстрактных граничных условий, содержащих операторы, голоморфно зависящие от спектрального параметра.
- Определены линейные отношения, порожденные различными дифференциально-операторными уравнениями в пространстве Lp(H,A(t);a,b), где t ->■ A{t) - неотрицательная операторная функция в гильбертовом пространстве Н. Дано описание пространств Lp(H,A(t);a,b) (р ^ 1). Определяются также линейные отношения, порожденные интегральным уравнением с неванлинновской мерой.
- Для введенных линейных отношений построены пространства граничных значений. С их помощью описаны различные классы расширений и сужений этих отношений. Получены условия обратимости и фредголь-мовости рассматриваемых отношений, дано описание спектра.
- Установлено, что если рассматриваемые линейные отношения обратимы, то операторы, обратные к таким отношениям, являются интегральными. В терминах граничных значений дается критерий голоморфности семейств таких операторов. Получены формулы обобщенных резольвент симметрических отношений. Основные результаты являются новыми как в конечномерном случае, так и в случае отсутствия операторного веса (т.е. в случае, когда A{t) = Е - тождественный оператор).
1.Брук В. М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии / В. М. Брук // Математический сборник. -1976. - Т. 100. - № 2. - С. 210-216.
2.Брук В. М. О расширениях симметрических отношений / В. М. Брук // Математические заметки. - 1977. - Т. 22. - № 6. - С. 825-834.
3.Брук В. М. О линейных отношениях в пространстве вектор-функций / В. М. Брук//Математические заметки.- 1978.- Т. 24.- № 4.- С. 499-511.
4.Брук В. М. О максимальной диссипативности дифференциального оператора высокого порядка с неограниченным операторным коэффициентом / В. М. Брук // Дифференциальные уравнения, 1984. - Т. 20. -№ 11. - С. 1986-1989.
5.Брук В.М. О характеристической функции линейного отношения // Известия ВУЗов. Математика. / В.М.Брук // 1986. – № 8. – С. 9–13.
6.Брук В.М. О спектре дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / В.М.Брук // Известия ВУЗов. Математика. – 1989. – № 8. – С. 15–21.
7.Брук В.М. О теореме единственности для голоморфных семейств операторов / В.М.Брук // Математические заметки. – 1993. – Т. 53. – № 3.– C. 155–156.
8.Брук В.М. О спектре операторов, связанных с равномерно корректными задачами / В.М.Брук, В.А.Крысько // Дифференциальные уравнения. – 2004. – Т. 40. – № 10. – С. 1417–1418.
9.Bruk V.M. On Spaces of Boundary Values for Relations Generated by a Formally Selfadjont Expression and a Nonnegative Operator Function / V. M. Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. – 2006. – V. 2. – № 3. – P. 268 – 277.
10. Bruk V.M. Generalized Resolvents of Symmetric Relations Generated on Semi-Axis by a Differential Expression and a Nonnegative Operator Function / V.M.Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. – 2006. – V. 2. – № 4. – P. 372–387.
11. Брук В.М. О спектре линейных отношений, связанных с равно мерно корректными задачами / В.М.Брук // Дифференциальные урав нения. – 2007. – Т. 43. – № 1. – С. 21–27.
12.Брук В.М. Об обратимых линейных отношениях, порожденных равномерно корректной задачей и неотрицательной операторной функцией / В.М.Брук // Известия ВУЗов.Математика.– 2007.– № 1.– С.3–9.
13.Брук В.М. Об обратимых сужениях отношений, порожденных дифференциальным выражением и неотрицательной операторной функцией / В.М.Брук // Математические заметки. – 2007. – Т. 82. – № 5. – С. 652–664.
14.Брук В.М. Об обобщенных резольвентах линейных отношений, порожденных неотрицательной операторной функцией и дифференциальным выражением эллиптического типа / В.М.Брук // Известия ВУЗов. Математика.– 2008.– № 11.– С.12–26.
15.Bruk V.M. On Linear Relations Generated by Nonnegative Operator Function and Degenerate Elliptic Differential Operator Expression/V.M.Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. –2009. – V. 5. – № 2. – P. 123–143.
16.Брук В.М. О числе линейно независимых, квадратично интегрируемых решений систем дифференциальных уравнений / В.М.Брук // Вестник ВГУ. Серия: Физика, Математика. – 2011. – № 1. – С. 100–106.
17. Bruk V. M. On Linear Relations Generated by a Differential Expression and by a Nevanlinna Operator Function / V.M. Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. – 2011. – V. 7. – № 2. – P. 115–140.
2. Другие публикации
1.Брук В.М. Об обобщенных резольвентах симметрических отношений в пространстве с индефинитной метрикой / В.М.Брук // Функциональный анализ. – 1984. – № 22 – Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1984. – С. 29–34.
2.Брук В.М. Об обратимых сужениях замкнутых операторов в банаховых пространствах / В.М.Брук // Функциональный анализ. – 1988. – № 28. – Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1988. – С. 17–22.
3.Брук В. М. О краевых задачах, связанных с голоморфными семействами операторов / В. М. Брук // Функциональный анализ. – 1989. – № 29. – Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1989. – С. 32–42.
4. Брук В.М. О голоморфных семействах линейных отношений / В.М.Брук // Функциональный анализ. –1992. – № 33. – Ульяновск: Улья новский пединститут, 1992. – С. 24–28.
5.Брук В.М. Диссипативные и обратимые отношения, порожденные неотрицательной операторной функцией и дифференциальным выражением эллиптического типа / В.М.Брук // International Scientific Journal. Spectral and evolution problems. – 2007. – V. 17. – Simferopol: Taurida National V. Vernadsky University, 2007. – P. 18–21.
6.Брук В.М. О спектре линейных отношений / В.М.Брук // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. – Воронеж: Воронежский государственный университет, 2009. – С. 30–31.
7.Брук В.М. О резольвентной сравнимости граничных задач для линейных отношений / В.М.Брук // International Scientific Journal. Spectral and evolution problems. – 2010. – V. 20. – Simferopol: Taurida National V. Vernadsky University, 2010. – P. 84–90.
8.Брук В. М. О линейных отношениях, порожденных дифференциальным выражением и неванлинновской функцией / В. М. Брук // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. – Т. 43. – Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. – 2011 – Казань: Изд-во Казанского матем. об-ва, Изд-во Казанского гос. университета, 2011. – С. 62–64.