- На торе произвольной размерности с произвольной бесконечно-гладкой римановой метрикой исследуется слоение на двумерные параллельные плоскости с индуцированными комплексными структурами на них. Доказывается, что существует семейство конформных плоских полных метрик на листах, бесконечно-гладко зависящее от трансверсального параметра [5]. Это дает положительный ответ на вопрос, поставленный и частично исследованный Э.Жисом. В ходе доказательства получено новое, простое доказательство классического результата о глобальной интегрируемости бесконечно-гладкой почти комплексной структуры на двумерном торе [12].
- Построены экзотические примеры голоморфных слоений с изолированными особенностями на аналитические кривые на подходящих гладких аффинных (проективных) алгебраических поверхностях [3, 4]. Построенные слоения доставляют контрпримеры к гипотезе Ю.С.Ильяшенко об одновременной униформизуемости (конца 1960-х гг.) А именно, в примерах из [4] листы с отмеченными точками в произвольном заданном трансверсальном сечении не допускают одновременной биголоморфной униформизации семейством односвязных областей на сфере Римана.
- Результат, приведенный ниже, получен в статьях [10, 11] совместно с д.ф.-м.н., профессором Ю.С.Ильяшенко. Получена верхняя оценка числа вещественных изолированных нулей абелева интеграла, отвечающего ультра-морсовскому гамильтониану H произвольной степени и произвольной полиномиальной 1-форме меньшей степени. Оценка экспоненциально зависит от четвертой степени degH, умноженной на некоторый коэффициент, зависящий от H. Эта оценка не равномерна: последний коэффициент становится большим, когда многочлен становится слишком близким к дискриминанту (множеству не ультра-морсовских многочленов). Однако на достаточно больших компактных подмножествах в пространствах ультра-морсовских многочленов любой степени вышеупомянутый коэффициент равномерно ограничен абсолютной константой, не зависящей от degH. Идея доказательства, а также оценка числа нулей абелева интеграла вблизи критических значений многочлена и вблизи бесконечности принадлежат Ю.С.Ильяшенко. Последняя оценка использует результаты его статьи, опубликованной в Math. Res. Lett. 14 (2007), no.3, 433-442. Доказательство оценки числа нулей «вдали» от критических значений получено совместно и основано на идее Ю.С.Ильяшенко и на результатах диссертанта, опубликованных в статьях [8] и [9].
- Исследованы ростки линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексным временем в нерезонансных иррегулярных особых точках как пределы фуксовых уравнений. Полученные результаты относятся к типичным фуксовым деформациям иррегулярного уравнения. Операторы Стокса иррегулярного уравнения выражены через подходящие предельные данные монодромии фуксова уравнения [1, 6, 7]. Аналогичный результат получен для седлоузловых ростков голоморфных векторных полей и их модулей Мартине - Рамиса орбитальной аналитической классификации [2].
- Доказано, что всякая недискретная свободная подгруппа в группе Ли не устойчива: является пределом несвободных подгрупп [13].
- Доказано, что во всяком кусочно-бесконечно-гладком плоском бильярде множество четырёхугольных периодических траекторий имеет меру нуль [14]. Это совместный результат с аспирантом, ныне к.ф.-м.н. Ю.Г.Кудряшовым, которому принадлежит сведение кусочно-гладкого случая к кусочно-аналитическому. В диссертации представлено доказательство в кусочно-аналитическом случае. Оно получено совместно и основано на разборе большого количества случаев. Диссертанту принадлежит разбор половины случаев, в том числе ключевого случая. Ю.С.Кудряшову принадлежит разбор остальных случаев и структуризация дерева случаев.
2.Глуцюк, А.А., Слияние особых точек и нелинейное явление Стокса, Труды Моск. Матем. Общества, 62 (2000), 54–104.
3.Glutsyuk, A., Nonuniformizable skew cylinders: a counterexample to the simultaneous uniformization problem, C. R. Acad. Sci. Paris, Sґerie 1 Math., 332 (2001), 209–214.
4.Glutsyuk, A., On simultaneous uniformization and local nonuniformizability, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 334 (2002), 489–494.
5.Glutsyuk, A., Simultaneous metric uniformization of foliations by Riemann surfaces, Commentarii Mathematici Helvetici, 79 (2004), Issue 4, 704–752.
6.Glutsyuk, A., Confuence of singular points and Stokes phenomena, Proceedings of NATO Advanced Study Institute “Normal Forms, Bifurcations and Finiteness Problems in Diferential Equations”, Montreal, July 6-19, 2002 (C. Rousseau and Yu. Ilyashenko, eds.), NATO Science Series II Math. Phys. Chem., 137 (2004), 267–294. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
7.Glutsyuk, A., On the monodromy group of confuenting linear equations, Moscow Math. J., 5 (2005), no. 1, 67–90.
8.Glutsyuk, A., Upper bounds of topology of complex polynomials in two variables, Moscow Math. J. 5 (2005), no. 4, 781–828.
9.Glutsyuk, A., An explicit formula for period determinant, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006), no. 4, 887–917.
10.Глуцюк, А.А.; Ильяшенко, Ю.С., Ограниченная инфинитезимальная 16-я проблема Гильберта, Доклады Акад. Наук, 407 (2006), no. 2, 154-159.
11.Glutsyuk, A.; Ilyashenko, Yu., Restricted version of the infnitesimal Hilbert 16-th problem, Moscow Math. J. 7 (2007), no. 2, 281-325.
12.Glutsyuk, A., Simple proofs of uniformization theorems, Fields Institute Communications, 53 (2008), 125-143. A Volume in Honour of John Milnor’s 75th Birthday.
13.Glutsyuk, A., Instability of nondiscrete free subgroups in Lie groups, Transformation Groups, 16 (2011), no. 2, 413-479.
14.Глуцюк, А.А.; Кудряшов, Ю.Г., О четырёхугольных орбитах в плоских бильярдах, Доклады Акад. Наук, 438:5 (2011), 590-592.