- Исследована разрешимость в шкале пространств Соболева нелокальных операторов, ассоциированных с диффеоморфизмом растяжения. Один из основных результатов состоит в том, что для данного показателя гладкости s оператор эллиптичен на (явно указываемом) открытом и связном множестве s. В частности, индекс не зависит от s.
- Получена теорема об индексе для эллиптических операторов, отвечающих общему диффеоморфизму многообразия. А именно, для нелокального эллиптического оператора на многообразии М построена эллиптическая краевая задача на цилиндре М х [0,1] с тем же индексом. Формула индекса для последней задачи предъявляется. Для нелокальных операторов, ассоциированных с диффеоморфизмом растяжения, дана когомологическая формула индекса.
- Получена теорема об индексе нелокальных операторов, ассоциированных с компактными группами Ли. Здесь дано определение символа таких операторов и построен характер Черна эллиптических символов как элемент когомологии множеств неподвижных точек действия.
- Построена теория краевых задач, которая является деформацией между теорией классических краевых задач и задач Атьи-Патоди-Зингера. Краевые задачи в этой теория являются нелокальными и ставятся на многообразиях, край которых представляет собой расслоение над некоторой компактной базой с компактным же слоем. Получена теорема фредгольмовости для таких краевых задач и в случае накрытий даётся формула индекса.
- Получена гомотопическая классификация нелокальных эллиптических операторов на многообразиях, окрестность края которых является тотальным пространством гладкого расслоения. Более точно, установлен изоморфизм группы стабильных гомотопических классов эллиптических операторов и группы Х-гомологий специального многообразия с особенностями. В качестве приложений классификации вычислено препятствие типа Атьи-Ботта к существованию нелокальных эллиптических краевых условий; вычислены Х-группы алгебры символов и алгебры псевд о дифференциальных операторов; построен аналог двойственности и изоморфизма Пуанкаре в Х-теории для многообразий с накрытием на крае.
- Получена теорема об индексе для эллиптических операторов над С*-алгебрами, ассоциированных с изометрическим действием дискретной группы на гладком замкнутом многообразии. Соответствующая формула индекса выражает аналитические числовые инварианты индекса Мищенко-Фоменко оператора в терминах топологических инвариантов символа. Для классических геометрических операторов (операторов Эйлера, сигнатуры, Дирака) указаны явные выражения для индекса.
2.Savin A., Sternin B. Index defects in the theory of spectral boundary value problems. In Aspects of Boundary Problems in Analysis and Geometry, V. 151 of Oper. Theory Adv. Appl. Advances in Partial Differential Equations, 2004, 170-238, Basel-Boston-Berlin. Birkhauser.
3.Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Индекс для одного класса нелокальных эллиптических операторов. In Spectral and Evolution problems: Proceedings of the Fourteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium, V. 14, 2004, 35-41.
4.Savin A. Elliptic operators on manifolds with singularities and X-homology. K-theory, 34, № 1, 2005, 71-98.
5.Savin A., Sternin B. Boundary value problems on manifolds with fibered boundary. Math. Nachr., 278, № 11, 2005, 1297-1317.
6.Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Индекс нелокальных эллиптических операторов над С*-алгебрами. Доклады академии паук, 426, № 3, 2009, 314-317.
7.Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Некоммутативная эллиптическая теория. Примеры. Труды МИАН, 271, 2010, 204-223.
8.Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Об индексе некоммутативных эллиптических операторов над С*-алгебрами. Матем. сб., 201, № 3, 2010, 63-106.
9.Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Об индексе нелокальных эллиптических операторов для группы растяжений. Доклады академии паук, 433, № 1, 2010, 21-24.
10.Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Нелокальные эллиптические операторы для компактных групп Ли. Доклады академии паук, 431, № 4, 2010, 457-460.
11.Савин А. Ю. Об индексе эллиптических операторов, ассоциированных с диффеоморфизмом многообразия. Доклады академии наук, 435, № 2, 2010, 170-172.
12.Savin A.Yu. On the index of nonlocal elliptic operators for compact Lie groups. Central European Journal of Mathematics, 2011. 9, № 4, 833-850.
13.Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Формула индекса нелокальных операторов для диффеоморфизма многообразия. Доклады академии паук, 2011, 438,
№ 4, 444-447.
14.Савин А. Ю. О символе нелокальных операторов в пространствах Соболева. Дифференц. уравнения, 47, № 6, 2011, 890-893.
15.Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Об индексе эллиптических операторов для группы растяжений. Матем. сб., 202, № 10, 2011, 99-130.
16.Савин А. Ю. Об индексе нелокальных эллиптических операторов, отвечающих неизометрическому диффеоморфизму. Матем. заметки, 90, № 5, 2011, 712-726.