- Для первой и второй краевых задач о малых колебаниях вращающейся идеальной жидкости в случае, когда область, занимаемая жидкостью, симметрична относительно оси вращения, получены разложения пространств соленоидальных векторов, которым принадлежат решения этих задач, в бесконечные ортогональные суммы их некоторых подпространств, и доказано, что изучение спектров операторов, связанных с рассматриваемыми задачами, может быть сведено к изучению спектров их ограничений на указанные подпространства, что позволяет вместо возникающих здесь известных трехмерных краевых задач для гиперболических уравнений рассматривать их аналоги на плоскости.
- Исследована первая краевая задача, являющаяся обобщением известной задачи Дарбу и заключающаяся в нахождении для гиперболического уравнения в плоской области D, ограниченной двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, обобщенного решения из пространства С.Л.Соболева W21(D), принимающего на этих кривых заданные значения; доказана корректность этой задачи.
- Исследована вторая краевая задача для гиперболических уравнений с двумя переменными, заключающаяся в нахождении обобщенного решения гиперболического уравнения, принадлежащего пространству С.Л.Соболева W21(D), где плоская область D ограничена двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле уравнения с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, - такого, которое удовлетворяет граничным условиям с частными производными, заданным на этих кривых, и принимает некоторое наперед заданное значение в вершине угла; установлены условия, касающиеся расположения этих кривых и коэффициентов при частных производных в граничных выражениях, при которых данная задача корректна.
- Получен новый метод изучения поведения вращающейся идеальной несжимаемой жидкости, суть которого заключается в исследовании спектральных задач соответствующих операторов с помощью теории корректной разрешимости первой и второй краевых задач для гиперболических уравнений на плоскости, являющихся обобщениями классических задач типа Гурса и Дарбу. Этот метод применим к задачам в трехмерных областях специального вида с кусочно-гладкой границей, содержащей ребра и, быть может, конические точки, и к соответствующим двумерным областям с угловыми точками.
- С помощью разработанного нового метода получено объяснение качественно различного поведения вращающейся жидкости в сферических и конических контейнерах, наблюдаемого экспериментально. Построены конкретные примеры осесимметричных трехмерных областей с ребрами, для которых не пуст непрерывный спектр инерционных волн, а также описан некоторый класс таких областей; доказано, в частности, что всякая осесимметричная область, ограниченная коническими поверхностями, принадлежит этому классу независимо от взаимного расположения конусов и их углов раствора, что означает обязательное существование не почти-периодических движений вращающейся жидкости в таких контейнерах. Приведены примеры, доказывающие существенную неустойчивость характера поведения жидкости по отношению к малым деформациям границы контейнера. Аналогичные результаты получены для модельной двумерной задачи.
- С помощью разработанного нового метода исследования рассматриваемых задач для плоской треугольной области впервые в явном виде построены точные решения нестационарной двумерной модельной задачи, исследованы свойства этих решений, доказано, что их L2-нормы убывают при t → ∞.
- Впервые установлено, что существуют такие решения нестацио нарной двумерной модельной задачи, L2-нормы которых убывают при t → ∞ быстрее любой отрицательной степени t, а вся энергия, которой они обладают, со временем оказывается почти полностью сосредоточенной в сколь угодно малых окрестностях угловых точек. Это объясняет некоторые обнаруженные в известных экспериментальных исследованиях особенности поведения вращающейся жидкости в контейнерах рассматриваемых конфигураций, что не могло быть сделано ранее.
[2] Троицкая С. Д. О не почти периодичности решений задачи С.Л.Соболева в областях с ребрами // Изв. РАН. Сер. матем. — 1994. — Т. 58, № 4. — С. 97–124.
[3] Троицкая С. Д. Об одной корректной краевой задаче для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными // Успехи матем. наук. — 1995. — Т. 50, № 4. — С. 124–125.
[4] Троицкая С. Д. О единственности обобщенного решения задачи Дарбу // Успехи матем. наук. — 1996. — Т. 51, № 5. — С. 149–150.
[5] Троицкая С. Д. О спектре кориолисова оператора в осесимметрич-ных областях с ребрами // Матем. заметки. — 1996. — Т. 60, № 2. — С. 304–309.
[6] Троицкая С. Д. О непрерывном спектре задачи Соболева // Успехи матем. наук. — 1998. — Т. 53, № 4. — С. 158.
[7] Троицкая С. Д. Об одной краевой задаче для гиперболических уравнений // Известия РАН. Сер. матем. — 1998. — Т. 62, № 2. — С. 194– 225.
[8] Троицкая С. Д. О первой краевой задаче для гиперболического уравнения на плоскости // Матем. заметки. — 1999. — Т. 65, № 2. — С. 294–306.
[9] Троицкая С. Д. Построение точных решений модельной задачи о колебаниях вращающейся жидкости в областях с угловыми точками // Вестник МГУ, Серия 3. Физика. Астрономия. — 2010. — № 6. — С. 14–20.
[10] Троицкая С. Д. Свойства решений модельной задачи о колебаниях вращающейся жидкости в областях с угловыми точками // Вестник МГУ, Серия 3. Физика. Астрономия. — 2010. — № 6. — С. 21–27.
[11] Troitskaya S. D. Behavior as t → ∞ of solutions of a problem in mathematical physics // Russ. J. Math. Phys. — 2010. — Vol. 17, no. 3. — Pp. 342–362.