Научная тема: «ГЛОБАЛЬНАЯ ДИНАМИКА КАСКАДОВ МОРСА-СМЕЙЛА НА 3-МНОГООБРАЗИЯХ»
Специальность: 01.01.02
Год: 2011
Отрасль науки: Физико-математические науки
Основные научные положения, сформулированные автором на основании проведенных исследований:
  1. Введены и изучены новые топологические инварианты диффеоморфизмов, принадлежащих классу MS(M3) сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на замкнутых ориентируемых 3-многообразиях М3. Построение инвариантов основано на представлении глобальной динамики диффеоморфизма / G MS(M3) в виде "источник - сток", где под источником и стоком понимаются дуальные репеллер и аттрактор. Предъявлены все возможные такие представления и связанные с ними пространства орбит (характеристические пространства), принадлежащих дополнению к аттрактору и репеллеру, вместе с вложенными в них образами сепаратрис седловых периодических точек в силу естественной проекции.
  2. Для диффеоморфизмов класса MS(M3) получены критерии ручного вложения сепаратрис седловых точек в окрестности узловой точки. Введена операция перестройки характеристических пространств вдоль тора и бутылки Клейна, с помощью которой изучается топология трехмерных характеристических пространств, в частности доказано, что каждая компонента связности такого пространства является простым многообразием, фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм в группу Z. Исследованы препятствия включению таких диффеоморфизмов в топологический поток. Разработана методика построения каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, удовлетворяющих необходимым условиям Палиса включения в топологический поток, но не включающихся ни в какой топологический поток.
  3. Для каскада /   G   MS(M3) доказано существование согласованной системы окрестностей, являющейся одним из основных технических инструментов топологической классификации. Построение такой системы использует структуру изученных в диссертации характеристических пространств. Свойства построенной в диссертации системы принципиально отличаются в окрестности гетеро-клинических кривых от свойств трубчатых семейств Ж. Палиса и С. Смейла, используемых ими при доказательстве структурной устойчивости диффеоморфизмов Морса-Смейла.
  4. Найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности каскадов класса MS(M3). А именно, введено понятие схемы Sf диффеоморфизма f ∈ MS(M3), которая содержит информацию о периодических данных каскада, топологии вложения и пересечения в фазовом пространстве двумерных инвариантных многообразий седловых периодических точек. Для этого использовано характеристическое пространство, соответствующее одномерному аттрактору-репеллеру и введенное в диссертации понятие гетероклинической ламинации, являющейся компактным объединением попарно непересекающихся торов и бутылок Клейна с конечным, пустым или счетным множеством выколотых точек. Доказано, что диффеоморфизмы f,f′ ∈ MS(M3) топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы Sf,Sf ′ эквивалентны.
  5. Решена проблема реализации. На основе свойств схемы Sf выделено множество S абстрактных схем, содержащее схемы всех диффеоморфизмов из MS(M3). По каждой абстрактной схеме S ∈ S построен диффеоморфизм fS ∈ MS(M3), схема которого эквивалентна данной. Решение этой проблемы позволяет моделировать структурно устойчивые динамические системы с прогнозируемыми свойствами.
  6. Для произвольного диффеоморфизма из класса MS(Mn) построена гладкая функция Ляпунова, являющаяся функцией Морса, что явлется существенным усилением фундаментальной теоремы динамических систем для каскадов Морса-Смейла.
  7. Доказано, что необходимые и достаточные условия существования энергетической функции (функции Ляпунова, не имеющей критических точек, отличных от периодических) у диффеоморфизма f ∈ MS(M3) связаны с типом вложения одномерных аттракторов и репеллеров. Получен критерий существования динамически упорядоченной энергетической функции для диффеоморфизмов класса MS(S3), не имеющих гетероклинических кривых. Выделен содержательный класс каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не обладающих энергетической функцией, для которых построена квази-энергетическая функция (функция Ляпунова с минимальным числом критических точек).
Список опубликованных работ
[1] Pochinka О. On topological conjugacy of the simplest Morse-Smale diffeomorphisms with a finite number of heteroclinic orbits on S3 // Progress in nonlinear science. 2001. V. 1. 338-345.

[2] Починка О.В. О топологической сопряженности простейших диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит на многообразии S3 // Труды СВМО. 2002. Т. 3-4. No 1. 138-142.

[3] Починка О.В. Классификация неградиентноподобных диффеоморфизмов с конечным числом гетероклинических орбит на 3-многообразиях // Труды СВМО. 2003. Т. 5. No 1. 104-109.

[4] Гринес В.З., Починка О.В. Структура предельного множества сепаратрис диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях // Труды СВМО, 2004. Т. 6. No 1, 32-39.

[5] Гринес В.З., Починка О.В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с цепочкой из трех седел на 3-многообразиях // Труды СВМО. 2005. Т. 7. No 1. 59-65.

[6] Починка О.В. О связи диффеоморфизмов с пространствами орбит // Труды Всероссийской научной конференции “Нелинейные колебания механических систем”. 2005. 186-188.

[7] Pochinka О. Classification of diffeomorphisms with a chain of three saddles on 3-manifold // Dynamics, bifurcations and chaos, 2005. 35-37.

[8] Гринес В.З., Починка О.В. О существовании энергетической функции диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях // Труды СВМО. 2007. Т. 9. No 1. 15-23.

[9] Гринес В.З., Лауденбах Ф., Починка О.В. Энергетическая функция для градиентно-подобных диффеоморфизмов на 3-многообразиях // ДАН. 2008. Т. 422. No 3. 299-301. [10] Pochinka О. Diffeomorphisms with mildly wild frame of separatrices // Universitatis Iagelonicae Acta Mathematica. Fasciculus XLVII. 2009. 149–154.

[11] Grines V., Laudenbach F., Pochinka O. Self-indexing function for Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds // Moscow Math. Journal. 2009. No 4. 801–821. [12] Гринес В.З., Лауденбах Ф., Починка О.В. Квази-энергетическая функция для диффеоморфизмов с дикими сепаратрисами // Математические заметки. 2009. Т. 86. No 2. 175–183.

[13] Grines V., Pochinka O. Energy Functions for Dynamical Systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. V. 15. No. 2-3. 187–195.

[14] Grines V., Pochinka O. On topological classification of Morse-Smale diffeomorphisms // Dynamics, Games and Science II DYNA2008 in honor of Mauricio Peixoto and David Rand. University of Minho. 2010. 403–424.

[15] Починка О.В. Полный топологический инвариант для диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях // Труды СВМО. 2011. Т. 13. No 2. 17–24. [16] Гринес В.З., Лауденбах Ф., Починка О. О существовании энергетической функции для диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях // ДАН. 2011. Т. 440. No 1. 7–10.

[17] Починка О.В. Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях // Нелинейная динамика. 2011. Т. 7. No 2. 227–238.

[18] Починка О.В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях // ДАН. 2011. Т. 440. No 6. 34–37.