- Развит оригинальный асимптотический подход для исследования асимптотик решений уравнений Шредингера, возникающих при аналитических адиабатических возмущениях одномерных периодических уравнений Шрединге-ра. Этот подход позволяет контролировать экспоненциально малые эффекты, порожденные комплексным туннелированием. При этом в диссертации предполагается, что возмущаемый периодический потенциал локально суммируем с квадратом.
- Развит подход к исследованию спектральных свойств (семейств) одномерных адиабатических двухчастотных почти-периодических операторов Шредингера. При этом для широкого класса адиабатических возмущений доказано, что
- сохраняется большая часть абсолютно непрерывного спектра, расположенного в средней части относительно длинных зон невозмущенного периодического оператора (для большинства частот); изучены свойства обобщенных собственных функций абсолютно непрерывного спектра;
- спектр, расположенный около относительно коротких изолированных спектральных зон невозмущенного оператора и на них, оказывается сингулярным; описаны асимптотики для показателя Ляпунова (измеряющего типичную скорость экспоненциального убывания (роста) решений почти-периодического уравнения Шредингера).
Для адиабатических возмущений вида A cos(e:r), где А - константа связи, изучены свойства спектра, находящегося около краев относительно длинных спектральных зон невозмущенного периодического оператора. Доказано, что
-
- спектр, находящийся у нижнего края спектра периодического оператора, расположен на последовательности экспоненциально малых интервалов; при этом рассматриваемая область спектральной оси асимптотически распадается на конечное число не зависящих от г отрезков, содержащих только интервалы с сингулярным спектром, и отрезков, где большая часть спектра абсолютно непрерывна (для большинства е);
- спектр, расположенный между двумя относительно длинными спектральными зонами периодического оператора, разделенными относительно короткой спектральной лакуной, расположен на двух последовательностях экспоненциально малых интервалов, "порожденных" соседними краями этих зон; на каждом интервале, порожденным краем одной из соседних зон и расположенном достаточно далеко (на расстоянии порядка £ , где N £ N -фиксированное число) от интервалов, порожденных краем второй спектральной зоны, природа спектра определяется как на интервалах, расположенных у нижнего края спектра, т.е. так, как если бы не было второй последовательности интервалов; на экспоненциально близких интервалах, порожденных краями двух разных соседних зон, природа спектра может меняться: сингулярный спектр может стать абсолютно непрерывным; между интервалами, содержащими абсолютно непрерывный спектр имеется отталкивание, не позволяющее им слиться в один. Описаны типичные сценарии "взаимодействия" таких интервалов.
- Идеи метода монодромизации перенесены на случай одномерных дифференциальных почти-периодических уравнений и получили дальнейшее развитие. Так, предложен метод для эффективного вычисления приращений плотности состояний на интервалах, содержащих спектр и разделенных лакунами, предложен метод исследования блоховских решений (типа решений Ди-набурга-Синая) дифференциальных почти-периодических уравнений и т.д.
[2] А. А. Федотов Комплексный метод ВКБ для адиабатических возмущений периодического оператора Шредингера Записки научн. семинаров ПО МИ, 379:142-178, 2010.
[3] А. А. Федотов Адиабатические почти-периодические операторы Шредингера Записки научн. семинаров ПОМИ, 379:103-141, 2010.
[4] A. Fedotov and F. Klopp. Coexistence of different spectral types for almost periodic Schrodinger equations in dimension one. Operator Theory: Advances and Applications, 108:243-252, 1999.
[5] A. Fedotov and F. Klopp. Transitions d´Anderson pour des operateurs de Schrodinger quasi-periodiques en dimension 1. Equations aux Derivees Partielles, IV: 1-13, Ecole Polytech., Palaiseau, 1999.
[6] A. Fedotov and F. Klopp. A complex WKB method for adiabatic problems. Asymptotic analysis, 27:219-264, 2001.
[7] A. Fedotov and F. Klopp. Anderson transitions for a family of almost periodic Schrodinger equations in the adiabatic case. Communications in Mathematical Physics, 227:1-92, 2002.
[8] A.Fedotov and F.Klopp. The spectral theory of the adiabatic quasi-periodic operators on the real line. Markov Processes and Related Fields, 9(4):579-615, 2004.
[9] A. Fedotov and F. Klopp. On the singular spectrum of quasi-periodic Schrodinger operator in adiabatic limit. Annales Henri Poincare, 5:929-978, 2004.
[10] A. Fedotov and F. Klopp. Geometric tools of the adiabatic complex WKB method. Asymptotic analysis, 39(3-4):309-357, 2004.
[11] A. Fedotov and F. Klopp. Operateurs de Schrodinger quasi-periodiques adiabatiques: interactions entre les bandes spectrales d´un operateur pe-riodique. Seminaire Equations aux Derivees Partielles, 2003-2004, XVI: 1-22, Ecole Polytechnique, Palaiseau, 2004.
[12] A. Fedotov and F. Klopp. On the absolutely continuous spectrum of an one-dimensional quasi-periodic Schrodinger operator in adiabatic limit. Transactions of AMS} 357:4481-4516, 2005.
[13] A. Fedotov and F. Klopp. Strong resonant tunneling, level repulsion and spectral type for one-dimensional adiabatic quasi-periodic Schrodinger operators. Annales Scientifiques de Г Ecole Normale Superieure, 4e serie, 38(6):889-950, 2005.
[14] A. Fedotov and F. Klopp. Level Repulsion and Spectral Type for One-Dimensional Adiabatic Quasi-Periodic Schrodinger Operators. In: Mathematical Physics of Quantum Mechanics. Selected and Refereed Lectures. Lecture Notes in Physics, Springer Verlag, Berlin, 690:383-402, 2006.
[15] A. Fedotov and F. Klopp. Weakly resonant tunneling interactions for adiabatic quasi-periodic Schrodinger operators. Memoires de la S.M.F., 104:1-108, 2006.